Упр.55 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) v(1/2-1/2v(1/2+1/2cos(?)))=cos(?/4) при ? < ? < 2?; б) v(1-v1/2-1/2cos(2?))=v2cos(?/2-?/2) при ? < ? < 3?/2; в) v(1/2+1/2v(1/2+1/2cos(2?)))=-cos(?/2) при 3?/2 < ? < 2?; г) v(1+v1/2-1/2cos(?))=v2cos(?/4-?/4) при 3?/2 < ? < 2?.

1. а)

   $$\sqrt{\frac12-\frac12\sqrt{\frac12+\frac12\cos\alpha}}$$
   $$=\sqrt{\frac12-\frac12\sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{2}}}$$
   $$=\sqrt{\frac12-\frac12\left(-\cos\frac{\alpha}{2}\right)}$$
   так как при $$\pi<\alpha<2\pi$$ имеем $$\cos\frac{\alpha}{2}<0$$.

   Тогда
   $$\sqrt{\frac12+\frac12\cos\frac{\alpha}{2}}=\sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{4}}=\cos\frac{\alpha}{4},$$
   поскольку $$\frac{\pi}{4}<\frac{\alpha}{4}<\frac{\pi}{2}$$ и $$\cos\frac{\alpha}{4}>0$$.

2. б)

   $$\sqrt{1-\sqrt{\frac12-\frac12\cos2\alpha}}$$
   $$=\sqrt{1-\sqrt{\sin^2\alpha}}$$
   $$=\sqrt{1+\sin\alpha}.$$

   Далее
   $$1+\sin\alpha=\sin^2\frac{\alpha}{2}+2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\alpha}{2}$$
   $$=\left(\sin\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}\right)^2.$$

   Значит,
   $$\sqrt{1+\sin\alpha}=\sin\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}.$$
   Представим сумму в виде произведения:
   $$\sin\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin\frac{\alpha}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\right)$$
   $$=\sqrt2\left(\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\pi}{4}\right)$$
   $$=\sqrt2\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right).$$

3. в)

   $$\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\frac12+\frac12\cos2\alpha}}$$
   $$=\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\cos^2\alpha}}$$
   $$=\sqrt{\frac12+\frac12(-\cos\alpha)}$$
   так как при $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$$ имеем $$\cos\alpha<0$$.

   Тогда
   $$\sqrt{\frac12-\frac12\cos\alpha}=\sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{2}}=-\cos\frac{\alpha}{2},$$
   поскольку $$\frac{3\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\pi$$ и $$\cos\frac{\alpha}{2}<0$$.

4. г)

   $$\sqrt{1+\sqrt{\frac12-\frac12\cos\alpha}}$$
   $$=\sqrt{1+\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2}}}$$
   $$=\sqrt{1+\sin\frac{\alpha}{2}}.$$

   Далее
   $$1+\sin\frac{\alpha}{2}=\sin^2\frac{\alpha}{4}+2\sin\frac{\alpha}{4}\cos\frac{\alpha}{4}+\cos^2\frac{\alpha}{4}$$
   $$=\left(\sin\frac{\alpha}{4}+\cos\frac{\alpha}{4}\right)^2.$$

   Значит,
   $$\sqrt{1+\sin\frac{\alpha}{2}}=\sin\frac{\alpha}{4}+\cos\frac{\alpha}{4}$$
   $$=\sqrt2\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{4}\right).$$

Ответ

а) $$\cos\frac{\alpha}{4}$$; б) $$\sqrt2\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right)$$; в) $$-\cos\frac{\alpha}{2}$$; г) $$\sqrt2\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{4}\right)$$.