Упр.548 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Подробный ответ

а) Фигура ограничена линиями $$y=\left(\frac13\right)^x,\quad y=3,\quad x=1.$$

Найдём площадь:

$$S=3\cdot 2-\int_{-1}^{1}\left(\frac13\right)^x\,dx =6-\left.\frac{\left(\frac13\right)^x}{\ln\frac13}\right|_{-1}^{1} =6+\left.\frac{\left(\frac13\right)^x}{\ln 3}\right|_{-1}^{1}.$$

$$S=6+\frac{\left(\frac13\right)^1-\left(\frac13\right)^{-1}}{\ln 3} =6+\frac{\frac13-3}{\ln 3} =6-\frac{8}{3\ln 3}.$$

б) Фигура ограничена линиями $$y=e^x,\quad y=e^{-x},\quad y=e.$$

Точки пересечения с прямой $$y=e$$:

$$e=e^x \Rightarrow x=1,\qquad e=e^{-x}\Rightarrow x=-1.$$

Площадь фигуры:

$$S=2e-2\int_{0}^{1}e^x\,dx =2e-2\left.e^x\right|_{0}^{1} =2e-2(e-1)=2.$$

в) Фигура ограничена линиями $$y=\left(\frac12\right)^x,\quad y=1,\quad x=-2.$$

Найдём площадь:

$$S=\int_{-2}^{0}\left(\frac12\right)^x\,dx-2\cdot 1 =\left.\frac{\left(\frac12\right)^x}{\ln\frac12}\right|_{-2}^{0}-2 =-\left.\frac{\left(\frac12\right)^x}{\ln 2}\right|_{-2}^{0}-2.$$

$$S=-\frac{1-4}{\ln 2}-2=\frac{3}{\ln 2}-2.$$

г) Фигура ограничена линиями $$y=\left(\frac12\right)^x,\quad y=4^x,\quad y=4.$$

Точки пересечения с прямой $$y=4$$:

$$4=\left(\frac12\right)^x \Rightarrow x=-2,\qquad 4=4^x \Rightarrow x=1.$$

Площадь фигуры:

$$S=4\cdot 3-\int_{-2}^{0}\left(\frac12\right)^x\,dx-\int_{0}^{1}4^x\,dx.$$

$$S=12-\left.\frac{\left(\frac12\right)^x}{\ln\frac12}\right|_{-2}^{0}-\left.\frac{4^x}{\ln 4}\right|_{0}^{1} =12+\left.\frac{\left(\frac12\right)^x}{\ln 2}\right|_{-2}^{0}-\left.\frac{4^x}{2\ln 2}\right|_{0}^{1}.$$

$$S=12+\frac{1-4}{\ln 2}-\frac{4-1}{2\ln 2} =12-\frac{3}{\ln 2}-\frac{3}{2\ln 2} =12-\frac{9}{2\ln 2}.$$