Упр.540 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Используем формулу касательной к графику функции в точке $$x_0$$:

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$

1. $$f(x)=e^{-x}, \quad x_0=0.$$

   $$f'(x)=-e^{-x}, \quad f'(0)=-1, \quad f(0)=1.$$

   Тогда

   $$y=-1(x-0)+1=1-x.$$

2. $$f(x)=3^x, \quad x_0=1.$$

   $$f'(x)=3^x\ln 3, \quad f'(1)=3\ln 3, \quad f(1)=3.$$

   Тогда

   $$y=3\ln 3\,(x-1)+3.$$

   После упрощения:

   $$y=3\ln 3\,x+3(1-\ln 3).$$

3. $$f(x)=e^x, \quad x_0=0.$$

   $$f'(x)=e^x, \quad f'(0)=1, \quad f(0)=1.$$

   Тогда

   $$y=(x-0)+1=x+1.$$

4. $$f(x)=2^{-x}, \quad x_0=1.$$

   $$f'(x)=-2^{-x}\ln 2, \quad f'(1)=-\frac{\ln 2}{2}, \quad f(1)=\frac12.$$

   Тогда

   $$y=-\frac{\ln 2}{2}(x-1)+\frac12.$$

   После упрощения:

   $$y=-\frac{\ln 2}{2}x+\frac{1+\ln 2}{2}.$$

Ответ:

а) $$y=1-x$$; б) $$y=3\ln 3\,(x-1)+3$$; в) $$y=x+1$$; г) $$y=-\frac{\ln 2}{2}(x-1)+\frac12$$.