Упр.54 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Докажите тождество:

а) $$\frac{\operatorname{tg}(?+?)-\operatorname{tg}(?)-\operatorname{tg}(?)}{\operatorname{tg}(?)\operatorname{tg}(?+?)}=\operatorname{tg}(?)$$;
б) $$\frac{1-\cos(2?)+\sin(2?)}{1+\cos(2?)+\sin(2?)}=\operatorname{tg}(?)$$;
в) $$\frac{\cos(?+?)+\cos(?-?)}{\sin(?+?)+\sin(?-?)}=\operatorname{ctg}(?)$$;
г) $$\frac{\sin(?)-\sin(3?)}{\cos(?)-\cos(3?)}=-\operatorname{ctg}(2?)$$.

Подробный ответ

а) Используем формулу суммы тангенсов:

$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}.$$

Тогда

$$\frac{\tg(\alpha+\beta)-\tg\alpha-\tg\beta}{\tg\alpha\cdot\tg(\alpha+\beta)} = \frac{\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}-\tg\alpha-\tg\beta}{\tg\alpha\cdot \frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}}$$

Приведём числитель к общему знаменателю:

$$\frac{\tg\alpha+\tg\beta-\tg\alpha+\tg^2\alpha\cdot\tg\beta-\tg\beta+\tg\alpha\cdot\tg^2\beta}{\tg\alpha(\tg\alpha+\tg\beta)}$$

$$= \frac{\tg\alpha\cdot\tg\beta(\tg\alpha+\tg\beta)}{\tg\alpha(\tg\alpha+\tg\beta)} = \frac{\tg\alpha\cdot\tg\beta}{\tg\alpha} = \tg\beta.$$

б) Используем формулы двойного угла:

$$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\qquad \cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha.$$

Тогда

$$\frac{1-\cos 2\alpha+\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha+\sin 2\alpha} = \frac{1-\cos^2\alpha+\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}{1+\cos^2\alpha-\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}$$

$$= \frac{2\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{2\sin\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)}{2\cos\alpha(\cos\alpha+\sin\alpha)} = \tg\alpha.$$

в) Применим формулы приведения к сумме:

$$\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta,$$

$$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta.$$

Тогда

$$\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)} = \frac{2\cos\alpha\cos\beta}{2\sin\alpha\cos\beta} = \ctg\alpha.$$

г) Используем формулы разности синусов и косинусов:

$$\sin\alpha-\sin 3\alpha=2\cos\frac{\alpha+3\alpha}{2}\sin\frac{\alpha-3\alpha}{2} =2\cos 2\alpha\sin(-\alpha),$$

$$\cos\alpha-\cos 3\alpha=-2\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}\sin\frac{\alpha-3\alpha}{2} =-2\sin 2\alpha\sin(-\alpha).$$

Следовательно,

$$\frac{\sin\alpha-\sin 3\alpha}{\cos\alpha-\cos 3\alpha} = \frac{2\cos 2\alpha\sin(-\alpha)}{-2\sin 2\alpha\sin(-\alpha)} = -\ctg 2\alpha.$$