Упр.54 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) (tg(?+?)-tg(?)-tg(?))/(tg(?)tg(?+?))=tg(?);
б) (1-cos(2?)+sin(2?))/(1+cos(2?)+sin(2?))=tg(?);
в) (cos(?+?)+cos(?-?))/(sin(?+?)+sin(?-?))=ctg(?);
г) (sin(?)-sin(3?))/(cos(?)-cos(3?))=-ctg(2?).

1. а) Используем формулу суммы тангенсов:

   $$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}.$$

   Тогда

   $$ \frac{\tg(\alpha+\beta)-\tg\alpha-\tg\beta}{\tg\alpha\cdot\tg(\alpha+\beta)} = \frac{\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}-\tg\alpha-\tg\beta}{\tg\alpha\cdot\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}}. $$

   Приведём числитель к общему знаменателю:

   $$ \frac{\tg\alpha+\tg\beta-\tg\alpha+\tg^2\alpha\cdot\tg\beta-\tg\beta+\tg\alpha\cdot\tg^2\beta}{\tg\alpha(\tg\alpha+\tg\beta)} = \frac{\tg\alpha\cdot\tg\beta(\tg\alpha+\tg\beta)}{\tg\alpha(\tg\alpha+\tg\beta)}. $$

   Сокращая, получаем:

   $$\frac{\tg\alpha\cdot\tg\beta}{\tg\alpha}=\tg\beta.$$

2. б) Используем формулы:

   $$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha,\qquad \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha.$$

   Тогда

   $$ \frac{1-\cos 2\alpha+\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha+\sin 2\alpha} = \frac{1-\cos^2\alpha+\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}{1+\cos^2\alpha-\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}. $$

   Так как $$1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha,$$ а $$1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha,$$ получаем:

   $$ \frac{2\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{2\sin\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)}{2\cos\alpha(\cos\alpha+\sin\alpha)} = \tg\alpha. $$

3. в) Применим формулы суммы и разности:

   $$ \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta, $$

   $$ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta. $$

   Тогда

   $$ \frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)} = \frac{2\cos\alpha\cos\beta}{2\sin\alpha\cos\beta} = \ctg\alpha. $$

4. г) Используем формулы:

   $$ \sin\alpha-\sin 3\alpha=2\cos\frac{\alpha+3\alpha}{2}\sin\frac{\alpha-3\alpha}{2} =2\cos 2\alpha\sin(-\alpha), $$

   $$ \cos\alpha-\cos 3\alpha=-2\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}\sin\frac{\alpha-3\alpha}{2} =-2\sin 2\alpha\sin(-\alpha). $$

   Следовательно,

   $$ \frac{\sin\alpha-\sin 3\alpha}{\cos\alpha-\cos 3\alpha} = \frac{2\cos 2\alpha\sin(-\alpha)}{-2\sin 2\alpha\sin(-\alpha)} = -\ctg 2\alpha. $$

Ответ

а) $$\tg\beta$$; б) $$\tg\alpha$$; в) $$\ctg\alpha$$; г) $$-\ctg 2\alpha$$.