Упр.535 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) На промежутке $$(-\infty;0]$$ функция $$f(x)=x^2+1$$ убывает, значит, на этом промежутке существует обратная функция.

Найдём её:

$$y=x^2+1$$
$$x=-\sqrt{y-1}$$

Переобозначая переменную, получаем

$$g(x)=-\sqrt{x-1}.$$

Область определения и множество значений:

$$D(g)=[1;+\infty), \qquad E(g)=(-\infty;0].$$

б) Функция $$f(x)=2x$$ возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$, значит, обратная функция существует.

Найдём её:

$$y=2x$$
$$x=\frac{y}{2}$$

Следовательно,

$$g(x)=\frac{x}{2}.$$

Область определения и множество значений:

$$D(g)=E(g)=\mathbb{R}.$$

в) Функция $$f(x)=\sqrt[4]{x}$$ возрастает на $$[0;+\infty)$$, значит, на этом промежутке существует обратная функция.

Найдём её:

$$y=\sqrt[4]{x}$$
$$x=y^4$$

Следовательно,

$$g(x)=x^4.$$

Область определения и множество значений:

$$D(g)=E(g)=[0;+\infty).$$

г) Функция $$f(x)=x^3+1$$ возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$, значит, обратная функция существует.

Найдём её:

$$y=x^3+1$$
$$x=\sqrt[3]{y-1}$$

Следовательно,

$$g(x)=\sqrt[3]{x-1}.$$

Область определения и множество значений:

$$D(g)=E(g)=\mathbb{R}.$$

Ответ

а) $$g(x)=-\sqrt{x-1}$$; б) $$g(x)=\frac{x}{2}$$; в) $$g(x)=x^4$$; г) $$g(x)=\sqrt[3]{x-1}$$.