Упр.532 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Найдём обратные функции, выразив $$x$$ через $$y$$, а затем заменим $$y$$ на $$x$$.
$$f(x)=-\frac{1}{x}$$
$$y=-\frac{1}{x} \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{1}{y}$$
Тогда
$$g(x)=-\frac{1}{x}.$$
Область определения и область значений:
$$D(g)=E(g)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
$$f(x)=2x^2,\quad x\ge 0$$
$$y=2x^2 \quad \Rightarrow \quad x=\sqrt{\frac{y}{2}}$$
Тогда
$$g(x)=\sqrt{\frac{x}{2}}.$$
Область определения и область значений:
$$D(g)=E(g)=[0;+\infty).$$
$$f(x)=\frac{x}{x+2}$$
$$y=\frac{x}{x+2} \quad \Rightarrow \quad y(x+2)=x$$
$$yx+2y=x$$
$$2y=x-xy$$
$$x(1-y)=2y$$
$$x=\frac{2y}{1-y}$$
Тогда
$$g(x)=\frac{2x}{1-x}.$$
Область определения и область значений:
$$D(g)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty), \qquad E(g)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty).$$
$$f(x)=\sqrt{x+1}$$
$$y=\sqrt{x+1} \quad \Rightarrow \quad y^2=x+1$$
$$x=y^2-1$$
Тогда
$$g(x)=x^2-1.$$
Так как для функции $$f(x)=\sqrt{x+1}$$ имеем $$x\ge -1$$ и $$y\ge 0$$, то
$$D(g)=[0;+\infty), \qquad E(g)=[-1;+\infty).$$
Ответ:
а) $$g(x)=-\frac{1}{x}, \quad D(g)=E(g)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty);$$
б) $$g(x)=\sqrt{\frac{x}{2}}, \quad D(g)=E(g)=[0;+\infty);$$
в) $$g(x)=\frac{2x}{1-x}, \quad D(g)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty), \quad E(g)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty);$$
г) $$g(x)=x^2-1, \quad D(g)=[0;+\infty), \quad E(g)=[-1;+\infty).$$
