Упр.530 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а)

$$\begin{cases} 3^y\cdot 9^x=81,\\ \lg(x+y)^2-\lg x=2\lg 3. \end{cases}$$
Преобразуем уравнения:
$$3^y\cdot 3^{2x}=3^4 \;\Rightarrow\; y+2x=4,$$
$$\lg\frac{(x+y)^2}{x}=\lg 9 \;\Rightarrow\; \frac{(x+y)^2}{x}=9.$$
Из первого уравнения
$$y=4-2x.$$
Подставим во второе:
$$\frac{(x+4-2x)^2}{x}=9,$$
$$(4-x)^2=9x,$$
$$x^2-17x+16=0.$$
$$x_1=1,\quad x_2=16.$$
Тогда
$$y_1=4-2\cdot 1=2,\quad y_2=4-2\cdot 16=-28.$$

Ответ: $$(1;2),\ (16;-28).$$

б)

$$\begin{cases} 10^{1+\lg(x+y)}=50,\\ \lg(x+y)+\lg(x-y)=2-\lg 5. \end{cases}$$
Первое уравнение:
$$10^{1+\lg(x+y)}=10\cdot 10^{\lg(x+y)}=10(x+y)=50,$$
откуда
$$x+y=5.$$
Второе уравнение:
$$\lg(x+y)+\lg(x-y)=\lg 100-\lg 5=\lg 20.$$
Подставим $$x+y=5$$:
$$\lg 5+\lg(x-y)=\lg 20,$$
$$\lg(x-y)=\lg 4,$$
$$x-y=4.$$
Решаем систему:
$$\begin{cases} x+y=5,\\ x-y=4. \end{cases}$$
$$2x=9,\quad x=4{,}5,\quad y=0{,}5.$$

Ответ: $$(4{,}5;\ 0{,}5).$$

в)

$$\begin{cases} 3^x\cdot 2^y=576,\\ \log_{\sqrt2}(y-x)=4. \end{cases}$$
Так как
$$4=\log_{\sqrt2}4,$$
то
$$\log_{\sqrt2}(y-x)=\log_{\sqrt2}4 \;\Rightarrow\; y-x=4.$$
Тогда
$$y=x+4.$$
Подставим в первое уравнение:
$$3^x\cdot 2^{x+4}=576,$$
$$3^x\cdot 2^x\cdot 16=576,$$
$$6^x=36,$$
$$x=2.$$
Тогда
$$y=2+4=6.$$

Ответ: $$(2;\ 6).$$

г)

$$\begin{cases} \lg x-\lg y=\lg 15-1,\\ 10^{\lg(3x+2y)}=39. \end{cases}$$
Преобразуем:
$$\lg\frac{x}{y}=\lg 15-\lg 10=\lg\frac{3}{2},$$
значит
$$\frac{x}{y}=\frac{3}{2},$$
или
$$2x=3y.$$
Во втором уравнении:
$$10^{\lg(3x+2y)}=3x+2y=39.$$
Получаем систему:
$$\begin{cases} 2x=3y,\\ 3x+2y=39. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$x=\dfrac{3y}{2}$$. Подставим:
$$3\cdot \frac{3y}{2}+2y=39,$$
$$\frac{13y}{2}=39,$$
$$y=6,\quad x=9.$$

Ответ: $$(9;\ 6).$$