Упр.53 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Упростите выражения:

• а) $$2\mathrm{tg}(?)-\mathrm{tg}(?-?)+\mathrm{ctg}(3?/2-?);$$ б) $$\frac{\sin(-?)}{\sin(?-?)}-\frac{\mathrm{tg}(?/2-?)}{\mathrm{ctg}(?)}+\frac{\cos(?)}{\sin(?/2+?)};$$ в) $$\frac{\mathrm{tg}(?-?)\cos(?-?)\mathrm{tg}(?/2-?)}{\sin(?/2-?)\mathrm{ctg}(?/2+?)\mathrm{tg}(3?/2+?)};$$ г) $$\frac{\mathrm{tg}(3?/2+?)\sin(3?/2)\sin(16?/9)\cos(13?/18)}{\mathrm{ctg}(?-?)\cos(5?/18)\sin(11?/9)\cos(2?)}.$$

а) Используем формулы приведения:

$$2\tg \alpha-\tg(\alpha-\pi)+\ctg\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) =2\tg \alpha-\tg \alpha+\tg \alpha =2\tg \alpha.$$

б) Преобразуем каждое слагаемое:

$$\frac{\sin(-\alpha)}{\sin(\pi-\alpha)} -\frac{\tg\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\ctg \alpha} +\frac{\cos \alpha}{\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)} = \frac{-\sin \alpha}{\sin \alpha} -\frac{\ctg \alpha}{\ctg \alpha} +\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}.$$

$$=-1-1+1=-1.$$

в) Используем формулы приведения:

$$\frac{\tg(\pi-\beta)\cos(\pi-\beta)\tg\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)} {\sin\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)\ctg\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\tg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)} = \frac{(-\tg \beta)(-\cos \beta)\ctg \beta} {\cos \beta\cdot(-\tg \alpha)\cdot(-\ctg \alpha)}.$$

$$=\frac{\tg \beta\cos \beta\ctg \beta}{\cos \beta\cdot \tg \alpha\ctg \alpha} =\frac{\cos \beta}{\cos \beta}=1.$$

г) Преобразуем выражение по формулам приведения:

$$\frac{\tg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\sin\frac{3\pi}{2}\sin\frac{16\pi}{9}\cos\frac{13\pi}{18}} {\ctg(\pi-\alpha)\cos\frac{5\pi}{18}\sin\frac{11\pi}{9}\cos 2\pi} = \frac{-\ctg \alpha\cdot(-1)\cdot \sin\left(2\pi-\frac{2\pi}{9}\right)\cdot \cos\left(\pi-\frac{5\pi}{18}\right)} {-\ctg \alpha\cdot \cos\frac{5\pi}{18}\cdot \sin\left(\pi+\frac{2\pi}{9}\right)\cdot 1}.$$

$$= \frac{-\sin\frac{2\pi}{9}\cdot\left(-\cos\frac{5\pi}{18}\right)} {\cos\frac{5\pi}{18}\cdot\left(-\sin\frac{2\pi}{9}\right)} =1.$$

Ответ

а) $$2\tg \alpha$$; б) $$-1$$; в) $$1$$; г) $$1$$.