Упр.53 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) y=cos^2(x)-cos(x); б) y=v(1-sin(x)ctg(x));
в) y=3cos(x)-4sin(x)-1; г) y=1/(tg^2(x/2)+2).

а) Пусть $$t=\cos x,$$ тогда $$-1\le t\le 1.$$

Имеем

$$y=t^2-t.$$

Это парабола, ветви направлены вверх. Её вершина находится в точке

$$t_0=-\frac{b}{2a}=\frac12,$$

и

$$y_{\min}=\left(\frac12\right)^2-\frac12=\frac14-\frac12=-\frac14.$$

На концах отрезка:

$$y(-1)=(-1)^2-(-1)=2,$$

$$y(1)=1^2-1=0.$$

Значит, область значений функции:

$$\left[-\frac14;\,2\right].$$

б) Так как $$\sin x\cdot \ctg x=\cos x$$ при $$\sin x\ne 0,$$ то

$$y=\sqrt{1-\cos x}.$$

Поскольку $$-1\le \cos x\le 1,$$ получаем

$$0\le 1-\cos x\le 2.$$

Тогда

$$0\le \sqrt{1-\cos x}\le \sqrt2.$$

Но при $$\cos x=1$$ значение под корнем равно нулю, а это соответствует $$\sin x=0,$$ что запрещено. Поэтому $$y\ne 0.$$

Следовательно, область значений:

$$\left(0;\,\sqrt2\right].$$

в) Представим выражение в виде одной тригонометрической функции:

$$3\cos x-4\sin x=5\left(\frac35\cos x-\frac45\sin x\right).$$

Так как $$\left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2=1,$$ то существует угол $$\varphi,$$ для которого

$$\frac35\cos x-\frac45\sin x=\sin(\varphi-x).$$

Тогда

$$y=5\sin(\varphi-x)-1.$$

Поскольку $$-1\le \sin(\varphi-x)\le 1,$$ имеем

$$-5\le 5\sin(\varphi-x)\le 5,$$

$$-6\le y\le 4.$$

Значит, область значений:

$$[-6;\,4].$$

г) Обозначим

$$t=\tg^2\frac{x}{2}.$$

Тогда $$t\ge 0,$$ и

$$y=\frac{1}{t+2}.$$

При $$t\ge 0$$ знаменатель не меньше 2, значит

$$0<y\le \frac12.$$

Следовательно, область значений:

$$\left(0;\,\frac12\right].$$

Ответ

а) $$\left[-\frac14;\,2\right]$$; б) $$\left(0;\,\sqrt2\right]$$; в) $$[-6;\,4]$$; г) $$\left(0;\,\frac12\right].$$