Упр.53 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Найдите область значений каждой из функций:

а) $$y=\cos^2(x)-\cos(x)$$;

б) $$y=v(1-\sin(x)\operatorname{ctg}(x))$$;

в) $$y=3\cos(x)-4\sin(x)-1$$;

г) $$y=\frac{1}{\operatorname{tg}^2\left(\frac{x}{2}\right)+2}$$.

Подробный ответ

а) $$y=\cos^2 x-\cos x.$$

Обозначим $$t=\cos x,$$ тогда $$-1\le t\le 1$$ и

$$y=t^2-t.$$

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Минимум достигается в вершине:

$$t_0=-\frac{b}{2a}=\frac12,$$

$$y_{\min}=\left(\frac12\right)^2-\frac12=\frac14-\frac12=-\frac14.$$

На концах отрезка $$[-1;1]$$ получаем:

$$y(-1)=(-1)^2-(-1)=2,$$

$$y(1)=1^2-1=0.$$

Следовательно, область значений:

$$y\in\left[-\frac14;2\right].$$

б) $$y=\sqrt{1-\sin x\ctg x}.$$

Так как $$\ctg x=\frac{\cos x}{\sin x},$$ то при $$\sin x\ne 0$$ имеем

$$\sin x\ctg x=\cos x,$$

и потому

$$y=\sqrt{1-\cos x}.$$

Поскольку $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

$$0\le 1-\cos x\le 2.$$

Значит,

$$0\le y\le \sqrt2.$$

Но значение $$y=0$$ достигается только при $$\cos x=1,$$ то есть при $$x=2\pi k,$$ а в этих точках $$\ctg x$$ не определена. Поэтому нуль не входит в область значений.

Итак,

$$y\in(0;\sqrt2].$$

в) $$y=3\cos x-4\sin x-1.$$

Представим линейную комбинацию через одну тригонометрическую функцию:

$$3\cos x-4\sin x=5\cos(x+\varphi),$$

где $$\cos\varphi=\frac35,$$ $$\sin\varphi=\frac45.$$ Тогда

$$y=5\cos(x+\varphi)-1.$$

Так как $$-1\le \cos(x+\varphi)\le 1,$$ то

$$-5\le 5\cos(x+\varphi)\le 5,$$

$$-6\le y\le 4.$$

Следовательно,

$$y\in[-6;4].$$