Упр.53 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) 2tg(?)-tg(?-?)+ctg(3?/2-?);
б) sin(-?)/sin(?-?)-tg(?/2-?)/ctg(?)+cos(?)/sin(?/2+?);
в) tg(?-?)cos(?-?)tg(?/2-?)/(sin(?/2-?)ctg(?/2+?)tg(3?/2+?));
г) tg(3?/2+?)sin(3?/2)sin(16?/9)cos(13?/18)/(ctg(?-?)cos(5?/18)sin(11?/9)cos(2?)).

1. $$2\tg \alpha-\tg(\alpha-\pi)+\ctg\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)$$

   Используем формулы приведения:

   $$\tg(\alpha-\pi)=\tg \alpha,\qquad \ctg\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\tg \alpha.$$

   Тогда

   $$2\tg \alpha-\tg \alpha+\tg \alpha=2\tg \alpha.$$

2. $$\frac{\sin(-\alpha)}{\sin(\pi-\alpha)}-\frac{\tg\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\ctg \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}$$

   Преобразуем каждую часть:

   $$\sin(-\alpha)=-\sin \alpha,\qquad \sin(\pi-\alpha)=\sin \alpha,$$

   $$\tg\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\ctg \alpha,\qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos \alpha.$$

   Получаем

   $$\frac{-\sin \alpha}{\sin \alpha}-\frac{\ctg \alpha}{\ctg \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}=-1-1+1=-1.$$

3. $$\frac{\tg(\pi-\beta)\cos(\pi-\beta)\tg\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)\ctg\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\tg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)}$$

   Используем формулы приведения:

   $$\tg(\pi-\beta)=-\tg \beta,\qquad \cos(\pi-\beta)=-\cos \beta,$$

   $$\tg\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)=\ctg \beta,\qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)=\cos \beta,$$

   $$\ctg\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\tg \alpha,\qquad \tg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\ctg \alpha.$$

   Тогда

   $$ \frac{(-\tg \beta)(-\cos \beta)\ctg \beta}{\cos \beta\cdot(-\tg \alpha)\cdot(-\ctg \alpha)} = \frac{\tg \beta\cos \beta\ctg \beta}{\cos \beta\cdot\tg \alpha\ctg \alpha} = \frac{\tg \beta\cos \beta\ctg \beta}{\cos \beta} =1. $$

4. $$\frac{\tg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\sin\frac{3\pi}{2}\sin\frac{16\pi}{9}\cos\frac{13\pi}{18}}{\ctg(\pi-\alpha)\cos\frac{5\pi}{18}\sin\frac{11\pi}{9}\cos 2\pi}$$

   Преобразуем значения тригонометрических функций:

   $$\tg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\ctg \alpha,\qquad \sin\frac{3\pi}{2}=-1,$$

   $$\sin\frac{16\pi}{9}=\sin\left(2\pi-\frac{2\pi}{9}\right)=-\sin\frac{2\pi}{9},$$

   $$\cos\frac{13\pi}{18}=\cos\left(\pi-\frac{5\pi}{18}\right)=-\cos\frac{5\pi}{18},$$

   $$\ctg(\pi-\alpha)=-\ctg \alpha,\qquad \sin\frac{11\pi}{9}=\sin\left(\pi+\frac{2\pi}{9}\right)=-\sin\frac{2\pi}{9},\qquad \cos 2\pi=1.$$

   Подставим:

   $$ \frac{(-\ctg \alpha)(-1)\left(-\sin\frac{2\pi}{9}\right)\left(-\cos\frac{5\pi}{18}\right)} {(-\ctg \alpha)\cos\frac{5\pi}{18}\left(-\sin\frac{2\pi}{9}\right)\cdot 1} =1. $$

Ответ

а) $$2\tg \alpha$$; б) $$-1$$; в) $$1$$; г) $$1$$.