Упр.529 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Подробный ответ

а) $$\begin{cases}\log_{\frac13}(x+y)=2,\\ \log_3(x-y)=2.\end{cases}$$
По определению логарифма:
$$\begin{cases}x+y=\left(\frac13\right)^2=\frac19,\\ x-y=3^2=9.\end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$2x=\frac19+9=\frac{82}{9}, \qquad x=\frac{41}{9}.$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$2y=\frac19-9=-\frac{80}{9}, \qquad y=-\frac{40}{9}.$$
б) $$\begin{cases}\lg(x^2+y^2)=2,\\ \log_{48}x+\log_{48}y=1.\end{cases}$$
Используем свойства логарифмов:
$$\begin{cases}\lg(x^2+y^2)=\lg 100,\\ \log_{48}(xy)=\log_{48}48.\end{cases}$$
Тогда
$$\begin{cases}x^2+y^2=100,\\ xy=48.\end{cases}$$
Из второго уравнения $$y=\dfrac{48}{x}$$. Подставим в первое:
$$x^2+\left(\frac{48}{x}\right)^2=100.$$
Умножим на $$x^2$$:
$$x^4-100x^2+2304=0.$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-100t+2304=0,$$
$$t_1=36,\quad t_2=64.$$
Следовательно,
$$x=6 \text{ или } x=8.$$
Тогда
$$y=\frac{48}{6}=8,\qquad y=\frac{48}{8}=6.$$
в) $$\begin{cases}\log_{\frac13}x+\log_{\frac13}y=2,\\ \log_{\frac13}x-\log_{\frac13}y=4.\end{cases}$$
По свойствам логарифмов:
$$\begin{cases}\log_{\frac13}(xy)=2,\\ \log_{\frac13}\left(\frac{x}{y}\right)=4.\end{cases}$$
Тогда
$$\begin{cases}xy=\left(\frac13\right)^2=\frac19,\\ \frac{x}{y}=\left(\frac13\right)^4=\frac1{81}.\end{cases}$$
Из второго уравнения $$x=\dfrac{y}{81}$$. Подставим в первое:
$$\frac{y}{81}\cdot y=\frac19,$$
$$y^2=9,\qquad y=3$$
(так как $$x>0$$ и $$y>0$$).
Тогда
$$x=\frac{3}{81}=\frac1{27}.$$
г) $$\begin{cases}\lg(x^2+y^2)=1+\lg 13,\\ \lg(x+y)=\lg(x-y)+\lg 8.\end{cases}$$
Преобразуем правые части:
$$\begin{cases}\lg(x^2+y^2)=\lg 10+\lg 13=\lg 130,\\ \lg(x+y)=\lg\bigl(8(x-y)\bigr).\end{cases}$$
Тогда
$$\begin{cases}x^2+y^2=130,\\ x+y=8(x-y).\end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$x+y=8x-8y,\qquad 9y=7x,\qquad y=\frac79x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^2+\left(\frac79x\right)^2=130,$$
$$x^2+\frac{49}{81}x^2=130,$$
$$\frac{130}{81}x^2=130,\qquad x^2=81,$$
$$x=\pm 9,\qquad y=\pm 7.$$
Так как $$x+y>0$$, подходит только пара $$x=9,\ y=7$$.