Упр.528 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Так как $$\log_2 \sin \frac{x}{2} < -1,$$ то по определению логарифма должно быть $$\sin \frac{x}{2} > 0.$$

Преобразуем неравенство:

$$\log_2 \sin \frac{x}{2} < \log_2 \frac{1}{2}.$$

Так как основание $$2>1,$$ логарифмическая функция возрастает, значит

$$0<\sin \frac{x}{2}<\frac{1}{2}.$$

Отсюда

$$0<\frac{x}{2}<\frac{\pi}{6}\quad \text{или}\quad \frac{5\pi}{6}<\frac{x}{2}<\pi,$$

с учётом периодичности функции получаем

$$4\pi n<x<\frac{\pi}{3}+4\pi n \quad \text{или}\quad \frac{5\pi}{3}+4\pi n<x<2\pi+4\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

б) $$|3-\log_2 x|<2.$$

Решаем двойное неравенство:

$$-2<3-\log_2 x<2.$$

Вычтем из всех частей 3:

$$-5<-\log_2 x<-1.$$

Умножим на $$-1$$, изменив знаки неравенств:

$$5>\log_2 x>1,$$

то есть

$$1<\log_2 x<5.$$

Так как основание $$2>1,$$ получаем

$$2<x<32.$$

в) $$\log_{\frac12}\cos 2x>1.$$

По определению логарифма должно быть $$\cos 2x>0.$$

Преобразуем неравенство:

$$\log_{\frac12}\cos 2x>\log_{\frac12}\frac12.$$

Так как основание $$\frac12<1,$$ логарифмическая функция убывает, поэтому знак неравенства меняется:

$$0<\cos 2x<\frac12.$$

Отсюда

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<2x<-\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или}\quad \frac{\pi}{3}+2\pi n<2x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Делим на 2:

$$-\frac{\pi}{4}+\pi n<x<-\frac{\pi}{6}+\pi n \quad \text{или}\quad \frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

г) $$|3\lg x-1|<2.$$

Решаем двойное неравенство:

$$-2<3\lg x-1<2.$$

Прибавим 1:

$$-1<3\lg x<3.$$

Разделим на 3:

$$-\frac13<\lg x<1.$$

Так как основание логарифма $$10>1,$$ получаем

$$10^{-\frac13}<x<10.$$

Ответ

а) $$x\in\left(4\pi n;\frac{\pi}{3}+4\pi n\right)\cup\left(\frac{5\pi}{3}+4\pi n;2\pi+4\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$

б) $$x\in(2;32);$$

в) $$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\pi n;-\frac{\pi}{6}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{6}+\pi n;\frac{\pi}{4}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$

г) $$x\in\left(10^{-\frac13};10\right).$$