Упр.527 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Решение

1. $$\left(\log_2 x\right)^2-\log_2 x\le 6.$$

   Обозначим $$y=\log_2 x.$$ Тогда

   $$y^2-y-6\le 0,$$

   $$\left(y-3\right)\left(y+2\right)\le 0,$$

   откуда

   $$-2\le y\le 3.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$-2\le \log_2 x\le 3,$$

   $$\log_2 \frac14\le \log_2 x\le \log_2 8.$$

   Так как основание $$2>1,$$ получаем

   $$\frac14\le x\le 8.$$

2. $$\left(\log_{\frac13} x\right)^2-4>0.$$

   По определению логарифма $$x>0.$$

   Тогда

   $$\left(\log_{\frac13} x\right)^2>4,$$

   $$\log_{\frac13} x>2 \quad \text{или} \quad \log_{\frac13} x<-2.$$

   Переходим к показательной форме:

   $$\log_{\frac13} x>\log_{\frac13}\frac19 \quad \text{или} \quad \log_{\frac13} x<\log_{\frac13} 9.$$

   Так как основание $$\frac13<1,$$ знак неравенства меняется:

   $$x<\frac19 \quad \text{или} \quad x>9.$$

3. $$\left(\lg x\right)^2+2\lg x>3.$$

   По определению логарифма $$x>0.$$

   Обозначим $$y=\lg x.$$ Тогда

   $$y^2+2y-3>0,$$

   $$\left(y-1\right)\left(y+3\right)>0,$$

   откуда

   $$y<-3 \quad \text{или} \quad y>1.$$

   Возвращаемся к $$x$$:

   $$\lg x<\lg 0{,}001 \quad \text{или} \quad \lg x>\lg 10.$$

   Так как основание $$10>1,$$ получаем

   $$0<x<0{,}001 \quad \text{или} \quad x>10.$$

4. $$\left(\log_3 x\right)^2-9\le 0.$$

   По определению логарифма $$x>0.$$

   Тогда

   $$\left(\log_3 x\right)^2\le 9,$$

   $$-3\le \log_3 x\le 3.$$

   Переходим к основанию 3:

   $$\log_3 \frac1{27}\le \log_3 x\le \log_3 27.$$

   Так как основание $$3>1,$$ получаем

   $$\frac1{27}\le x\le 27.$$

Ответ

а) $$x\in \left[\frac14;8\right]$$; б) $$x\in \left(0;\frac19\right)\cup(9;\infty)$$; в) $$x\in (0;0{,}001)\cup(10;\infty)$$; г) $$x\in \left[\frac1{27};27\right].$$