Упр.524 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим каждое уравнение.

1. $$\log_2(9-2^x)=3-x.$$

   По определению логарифма:

   $$9-2^x=2^{3-x}=\frac{8}{2^x}.$$

   Введём замену $$y=2^x,\quad y>0.$$ Тогда

   $$9-y=\frac{8}{y}.$$

   Умножим на $$y$$:

   $$9y-y^2=8,$$

   $$y^2-9y+8=0,$$

   $$\left(y-1\right)\left(y-8\right)=0.$$

   Отсюда $$y=1$$ или $$y=8.$$

   Возвращаемся к $$x$$:

   $$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$

   $$2^x=8 \Rightarrow x=3.$$

2. $$\log_2(25^{x+3}-1)=2+\log_2(5^{x+3}+1).$$

   Положим $$y=5^{x+3},\quad y>0.$$ Тогда $$25^{x+3}=y^2,$$ и уравнение принимает вид

   $$\log_2(y^2-1)=2+\log_2(y+1)=\log_2 4+\log_2(y+1)=\log_2\bigl(4(y+1)\bigr).$$

   Следовательно,

   $$y^2-1=4(y+1).$$

   $$y^2-4y-5=0,$$

   $$\left(y-5\right)\left(y+1\right)=0.$$

   Так как $$y>0,$$ получаем $$y=5.$$ Тогда

   $$5^{x+3}=5 \Rightarrow x+3=1 \Rightarrow x=-2.$$

3. $$\log_4(2\cdot 4^{x-2}-1)=2x-4.$$

   По определению логарифма:

   $$2\cdot 4^{x-2}-1=4^{2x-4}.$$

   Преобразуем левую часть:

   $$2\cdot 4^{x-2}=2\cdot \frac{4^x}{16}=\frac{4^x}{8},$$

   поэтому

   $$\frac{4^x}{8}-1=4^{2x-4}.$$

   Положим $$t=4^x,\quad t>0.$$ Тогда

   $$\frac{t}{8}-1=\frac{t^2}{256}.$$

   Умножим на $$256$$:

   $$32t-256=t^2,$$

   $$t^2-32t+256=0,$$

   $$\left(t-16\right)^2=0.$$

   Значит, $$t=16,$$ то есть

   $$4^x=16 \Rightarrow x=2.$$

4. $$\log_2(4^x+4)=\log_2 2^x+\log_2(2^{x+1}-3).$$

   Объединим логарифмы справа:

   $$\log_2(4^x+4)=\log_2\bigl(2^x(2^{x+1}-3)\bigr).$$

   Тогда

   $$4^x+4=2^x(2^{x+1}-3).$$

   Положим $$y=2^x,\quad y>0.$$ Тогда $$4^x=y^2,$$ и получаем

   $$y^2+4=y(2y-3),$$

   $$y^2-3y-4=0,$$

   $$\left(y-4\right)\left(y+1\right)=0.$$

   Так как $$y>0,$$ то $$y=4.$$ Следовательно,

   $$2^x=4 \Rightarrow x=2.$$

Ответ: а) $$x=0,\,3$$; б) $$x=-2$$; в) $$x=2$$; г) $$x=2$$.