Упр.523 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

а) $$\log_a x=\log_{\sqrt a}2+\log_{1/a}3.$$
По определению логарифма: $$a>0,\ a\ne 1,\ x>0.$$
Перейдём к основанию $$a$$:
$$ \log_{\sqrt a}2=\frac{\log_a 2}{\log_a \sqrt a}=\frac{\log_a 2}{1/2}=2\log_a 2, $$
$$ \log_{1/a}3=\frac{\log_a 3}{\log_a(1/a)}=\frac{\log_a 3}{-1}=-\log_a 3. $$
Тогда
$$ \log_a x=2\log_a 2-\log_a 3=\log_a 4-\log_a 3=\log_a \frac43. $$
Следовательно, $$x=\frac43.$$
б) $$\log_x 2-\log_4 x+\frac76=0.$$
ОДЗ: $$x>0,\ x\ne 1.$$
Перейдём к основанию $$2$$:
$$ \log_x 2=\frac1{\log_2 x}, \qquad \log_4 x=\frac{\log_2 x}{\log_2 4}=\frac{\log_2 x}{2}. $$
Обозначим $$y=\log_2 x.$$ Тогда
$$ \frac1y-\frac y2+\frac76=0. $$
Умножим на $$6y$$:
$$ 6-3y^2+7y=0, $$
$$ 3y^2-7y-6=0. $$
$$ D=49+72=121,\qquad y=\frac{7\pm 11}{6}. $$
$$ y_1=3,\qquad y_2=-\frac23. $$
Возвращаемся к $$x$$:
$$ \log_2 x=3 \Rightarrow x=8, $$
$$ \log_2 x=-\frac23 \Rightarrow x=2^{-2/3}=\frac1{\sqrt[3]{4}}. $$
в) $$\log_3 x-2\log_{1/3}x=6.$$
ОДЗ: $$x>0.$$
$$ \log_{1/3}x=\frac{\log_3 x}{\log_3(1/3)}=\frac{\log_3 x}{-1}=-\log_3 x. $$
Тогда
$$ \log_3 x-2(-\log_3 x)=6, $$
$$ 3\log_3 x=6, $$
$$ \log_3 x=2. $$
Следовательно, $$x=9.$$
г) $$\log_{25}x+\log_5 x=\log_{1/5}\sqrt8.$$
ОДЗ: $$x>0.$$
Перейдём к основанию $$5$$:
$$ \log_{25}x=\frac{\log_5 x}{\log_5 25}=\frac12\log_5 x, $$
$$ \log_{1/5}\sqrt8=\frac{\log_5 \sqrt8}{\log_5(1/5)}=-\log_5 \sqrt8. $$
Обозначим $$t=\log_5 x.$$ Тогда
$$ \frac12 t+t=-\log_5 \sqrt8. $$
Так как $$\sqrt8=2\sqrt2$$, то удобнее записать правую часть через степень числа 5:
$$ \log_{1/5}\sqrt8=\log_{1/5}5^{3/2}=-\frac32. $$
Получаем
$$ \frac32 t=-\frac32,\qquad t=-1. $$
Значит,
$$ \log_5 x=-1,\qquad x=\frac15. $$