Упр.52 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Область определения функции $$y=f(x)$$ — отрезок $$[-1;2]$$. Найдите область определения функции:

1. а) $$y=f(x)+1$$;
2. б) $$y=f(x+1)$$;
3. в) $$y=2f(x)$$;
4. г) $$y=f(2x)$$;
5. д) $$y=f(-x)$$;
6. е) $$y=-f(x)$$;
7. ж) $$y=|f(x)|$$;
8. з) $$y=f(|x|)$$;
9. и) $$y=f(1-x)$$;
10. к) $$y=f(1-|x|)$$;
11. л) $$y=f(vx)$$;
12. м) $$y=f(x^2)$$.

Для функции $$y=f(x)$$ область определения $$D=[-1;2].$$

1. $$y=f(x)+1.$$

   При добавлении числа к значению функции область определения не меняется:

   $$D=[-1;2].$$

2. $$y=f(x+1).$$

   Нужно, чтобы $$x+1\in[-1;2].$$ Тогда

   $$-1\le x+1\le 2,$$

   $$-2\le x\le 1.$$

   $$D=[-2;1].$$

3. $$y=2f(x).$$

   Умножение на число область определения не изменяет:

   $$D=[-1;2].$$

4. $$y=f(2x).$$

   Требуется, чтобы $$2x\in[-1;2].$$ Тогда

   $$-1\le 2x\le 2,$$

   $$-\frac12\le x\le 1.$$

   $$D=\left[-\frac12;1\right].$$

5. $$y=f(-x).$$

   Нужно, чтобы $$-x\in[-1;2].$$ Тогда

   $$-1\le -x\le 2,$$

   $$-2\le x\le 1.$$

   $$D=[-2;1].$$

6. $$y=-f(x).$$

   Знак «минус» перед функцией область определения не меняет:

   $$D=[-1;2].$$

7. $$y=|f(x)|.$$

   Модуль значения функции не влияет на область определения:

   $$D=[-1;2].$$

8. $$y=f(|x|).$$

   Нужно, чтобы $$|x|\in[-1;2].$$ Так как $$|x|\ge 0,$$ достаточно условия

   $$0\le |x|\le 2,$$

   $$-2\le x\le 2.$$

   $$D=[-2;2].$$

9. $$y=f(1-x).$$

   Требуется, чтобы $$1-x\in[-1;2].$$ Тогда

   $$-1\le 1-x\le 2,$$

   $$-2\le -x\le 1,$$

   $$-1\le x\le 2.$$

   $$D=[-1;2].$$

10. $$y=f(1-|x|).$$

    Нужно, чтобы $$1-|x|\in[-1;2].$$ Тогда

    $$-1\le 1-|x|\le 2,$$

    $$-2\le -|x|\le 1,$$

    $$-1\le |x|\le 2.$$

    Так как $$|x|\ge 0,$$ получаем

    $$0\le |x|\le 2,$$

    $$-2\le x\le 2.$$

    $$D=[-2;2].$$

11. $$y=f(\sqrt{x}).$$

    Нужно, чтобы $$\sqrt{x}\in[-1;2].$$ Поскольку $$\sqrt{x}\ge 0,$$ имеем

    $$0\le \sqrt{x}\le 2,$$

    $$0\le x\le 4.$$

    $$D=[0;4].$$

12. $$y=f(x^2).$$

    Требуется, чтобы $$x^2\in[-1;2].$$ Так как $$x^2\ge 0,$$ достаточно

    $$0\le x^2\le 2,$$

    $$-\sqrt2\le x\le \sqrt2.$$

    $$D=[-\sqrt2;\sqrt2].$$

Ответ

а) $$[-1;2]$$; б) $$[-2;1]$$; в) $$[-1;2]$$; г) $$\left[-\frac12;1\right]$$; д) $$[-2;1]$$; е) $$[-1;2]$$; ж) $$[-1;2]$$; з) $$[-2;2]$$; и) $$[-1;2]$$; к) $$[-2;2]$$; л) $$[0;4]$$; м) $$[-\sqrt2;\sqrt2]$$.