Упр.519 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Область определения: $$x-4>0,\quad 2x-1>0,$$ значит $$x>4.$$

Умножим уравнение на $$2$$:

$$\log_2(x-4)+\log_2(2x-1)=\log_2 9.$$

Тогда

$$\log_2\bigl((x-4)(2x-1)\bigr)=\log_2 9,$$

откуда

$$(x-4)(2x-1)=9.$$

$$2x^2-9x+4=9$$

$$2x^2-9x-5=0.$$

$$D=81+40=121,$$

$$x_{1,2}=\frac{9\pm 11}{4}.$$

Получаем $$x_1=5,\; x_2=-\frac12.$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=5.$$

б) Область определения: $$3x+4>0,$$ то есть $$x>-\frac43.$$

Используем свойство логарифмов:

$$\lg(3x^2+12x+19)-\lg(3x+4)=\lg\frac{3x^2+12x+19}{3x+4}=\lg 10.$$

Следовательно,

$$\frac{3x^2+12x+19}{3x+4}=10.$$

$$3x^2+12x+19=30x+40$$

$$3x^2-18x-21=0$$

$$x^2-6x-7=0.$$

$$x_{1,2}=\frac{6\pm 8}{2},$$

то есть $$x_1=7,\; x_2=-1.$$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

в) Область определения:

$$x^2+2x-7>0,\quad x-1>0.$$

Из второго неравенства имеем $$x>1.$$

Тогда

$$\lg(x^2+2x-7)-\lg(x-1)=\lg 1,$$

значит

$$\lg\frac{x^2+2x-7}{x-1}=\lg 1,$$

откуда

$$\frac{x^2+2x-7}{x-1}=1.$$

$$x^2+2x-7=x-1$$

$$x^2+x-6=0$$

$$x_{1,2}=-3,\; 2.$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=2.$$

г) Область определения: $$x^2+8>0,\quad x+1>0,$$ значит $$x>-1.$$

Используем свойства логарифмов:

$$\log_5(x^2+8)-\log_5(x+1)=\log_5 8,$$

так как $$3\log_5 2=\log_5 2^3=\log_5 8.$$

Тогда

$$\log_5\frac{x^2+8}{x+1}=\log_5 8,$$

следовательно,

$$\frac{x^2+8}{x+1}=8.$$

$$x^2+8=8x+8$$

$$x^2-8x=0$$

$$x(x-8)=0.$$

Получаем $$x_1=0,\; x_2=8.$$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ

а) $$x=5$$; б) $$x=7,\,-1$$; в) $$x=2$$; г) $$x=0,\;8$$.