Упр.51 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) y=v(|x|-x)/tg(2x); б) y=v(8-2x-x^2)/cos(x);
в) y=arcsin(0,5x)/v(x^2-1); г) y=vcos(sin(x));
д) y=log(2sin(x); cos(x)); е) y=1/lg(1-v(x^2-1)).

1. а) $$y=\frac{\sqrt{|x|-x}}{\tg 2x}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$|x|-x\ge 0.$$

   Это верно при всех $$x\in \mathbb{R}$$, так как $$|x|\ge x$$.

   Кроме того, знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$\tg 2x\ne 0 \;\Rightarrow\; 2x\ne \pi n \;\Rightarrow\; x\ne \frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Но при $$x=\frac{\pi n}{2}$$ в частности исключаются и точки, где $$\tg 2x=0$$. Для данной записи ответа получаем:

   Область определения: $$x\ne \frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2. б) $$y=\frac{\sqrt{8-2x-x^2}}{\cos x}$$

   Требуется:

   $$8-2x-x^2\ge 0,\qquad \cos x\ne 0.$$

   Решим неравенство:

   $$8-2x-x^2\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x^2+2x-8\le 0$$

   $$x^2+2x-8=(x+4)(x-2).$$

   Тогда

   $$-4\le x\le 2.$$

   Исключаем точки, где $$\cos x=0$$:

   $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   На отрезке $$[-4;2]$$ это даёт:

   $$D=[-4;-\tfrac{\pi}{2})\cup(-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2})\cup(\tfrac{\pi}{2};2].$$

3. в) $$y=\frac{\arcsin(0{,}5x)}{\sqrt{x^2-1}}$$

   Для корня в знаменателе нужно:

   $$x^2-1>0 \;\Rightarrow\; |x|>1.$$

   Для арксинуса:

   $$-1\le 0{,}5x\le 1 \;\Rightarrow\; -2\le x\le 2.$$

   Пересекаем условия:

   $$D=[-2;-1)\cup(1;2].$$

4. г) $$y=\sqrt{\cos(\sin x)}$$

   Так как

   $$-1\le \sin x\le 1,$$

   то

   $$\cos(\sin x)\ge \cos 1>0.$$

   Следовательно, подкоренное выражение всегда положительно, и функция определена при всех действительных $$x$$.

   $$D=(-\infty;+\infty).$$

5. д) $$y=\log_{2\sin x}(\cos x)$$

   Для логарифма нужно:

   $$\cos x>0,$$

   $$2\sin x>0,$$

   $$2\sin x\ne 1.$$

   Из условий получаем:

   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

   $$2\pi n<x<\pi+2\pi n,$$

   $$x\ne \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad x\ne \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   После пересечения условий:

   $$D=\left(2\pi n;\frac{\pi}{6}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb{Z}.$$

6. е) $$y=\frac{1}{\lg\left(1-\sqrt{x^2-1}\right)}$$

   Нужно, чтобы:

   $$\lg\left(1-\sqrt{x^2-1}\right)\ne 0,$$

   $$1-\sqrt{x^2-1}>0,$$

   $$x^2-1\ge 0.$$

   Из последнего:

   $$|x|\ge 1.$$

   Из условия положительности аргумента логарифма:

   $$1-\sqrt{x^2-1}>0 \;\Rightarrow\; \sqrt{x^2-1}<1 \;\Rightarrow\; x^2-1<1 \;\Rightarrow\; x^2<2.$$

   Совмещая, получаем:

   $$1\le x^2<2 \;\Rightarrow\; x\in(-\sqrt2;-1]\cup[1;\sqrt2).$$

   Но при $$\lg\left(1-\sqrt{x^2-1}\right)=0$$ аргумент логарифма равен $$1$$, то есть

   $$1-\sqrt{x^2-1}=1 \;\Rightarrow\; x^2-1=0 \;\Rightarrow\; x=\pm 1,$$

   эти точки исключаются. Тогда

   $$D=(-\sqrt2;-1)\cup(1;\sqrt2).$$

Ответ

а) $$x\ne \frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb{Z}$$;
б) $$[-4;-\tfrac{\pi}{2})\cup(-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2})\cup(\tfrac{\pi}{2};2]$$;
в) $$[-2;-1)\cup(1;2]$$;
г) $$(-\infty;+\infty)$$;
д) $$\left(2\pi n;\frac{\pi}{6}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z}$$;
е) $$(-\sqrt2;-1)\cup(1;\sqrt2)$$.