Упр.506 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. $$\log_2\left(2\sin\frac{\pi}{15}\right)+\log_2\cos\frac{\pi}{15}$$

   Объединим логарифмы:

   $$\log_2\left(2\sin\frac{\pi}{15}\cdot \cos\frac{\pi}{15}\right)$$

   Используем формулу $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$:

   $$\log_2\sin\frac{2\pi}{15}$$

2. $$\log_4\left(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{3}\right)+\log_4\left(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{21}+\sqrt[3]{9}\right)$$

   Объединим логарифмы:

   $$\log_4\left[\left(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{3}\right)\left(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{21}+\sqrt[3]{9}\right)\right]$$

   Положим $$a=\sqrt[3]{7}$$, $$b=\sqrt[3]{3}$$. Тогда

   $$\sqrt[3]{49}=a^2,\quad \sqrt[3]{21}=ab,\quad \sqrt[3]{9}=b^2$$

   и получаем:

   $$\log_4\left[(a-b)(a^2+ab+b^2)\right]$$

   По формуле разности кубов:

   $$ (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3=7-3=4 $$

   Значит,

   $$\log_4 4=1$$

3. $$\lg\tg 4+\lg\ctg 4$$

   Объединим логарифмы:

   $$\lg(\tg 4\cdot \ctg 4)=\lg 1=0$$

4. $$\log_{\pi}(5+2\sqrt6)+\log_{\pi}(5-2\sqrt6)$$

   Объединим логарифмы:

   $$\log_{\pi}\bigl((5+2\sqrt6)(5-2\sqrt6)\bigr)$$

   Используем формулу разности квадратов:

   $$ (5+2\sqrt6)(5-2\sqrt6)=25-24=1 $$

   Тогда

   $$\log_{\pi}1=0$$

Ответ

а) $$\log_2\sin\frac{2\pi}{15}$$; б) $$1$$; в) $$0$$; г) $$0$$.