Упр.50 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Упростите выражения:
- а) $$\frac{x-1}{x+x^{1/2}+1}:\frac{x^{0,5}+1}{x^{1,5}-1}+\frac{2}{x^{-0,5}}$$;
- б) $$\left(a^{1/2}b^{1/2}-\frac{ab}{a+a^{1/2}b^{1/2}}\right):\frac{(ab)^{1/4}-b^{1/2}}{a-b}$$;
- в) $$\left(\frac{2x+x^{1/2}y^{1/2}}{3x}\right)^{-1}\cdot\left(\frac{x^{3/2}-y^{3/2}}{x-x^{1/2}y^{1/2}}-\frac{x-y}{x^{1/2}+y^{1/2}}\right)$$;
- г) $$\left(\frac{1-c^{-2}}{c^{1/2}-c^{-1/2}}-\frac{2c^{1/2}}{c^2}+\frac{c^{-2}-c}{c^{1/2}-c^{-1/2}}\right)\cdot\left(1+\frac{2}{c^2}\right)^{-2}$$.
а) $$\frac{x-1}{x+\sqrt{x}+1}:\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}-1}+\frac{2}{x^{-1/2}}$$
Преобразуем деление в умножение и разложим знаменатель:
$$\frac{x-1}{x+\sqrt{x}+1}\cdot\frac{x\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}+2\sqrt{x}$$
Так как $$x\sqrt{x}-1=(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1),$$ получаем
$$\frac{(x-1)(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}+1}+2\sqrt{x}$$
Кроме того, $$x-1=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1),$$ значит
$$\frac{(\sqrt{x}-1)^2(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}+1}+2\sqrt{x}=(\sqrt{x}-1)^2+2\sqrt{x}=x+1.$$
б) $$\left(\sqrt{a}\sqrt{b}-\frac{ab}{a+\sqrt{a}\sqrt{b}}\right):\frac{\sqrt[4]{ab}-\sqrt{b}}{a-b}$$
Положим $$\sqrt{a}=u,\ \sqrt{b}=v.$$ Тогда $$a=u^2,\ b=v^2,\ \sqrt[4]{ab}=\sqrt{uv}.$$ Имеем
$$\left(uv-\frac{u^2v^2}{u^2+uv}\right):\frac{\sqrt{uv}-v}{u^2-v^2}$$
Упростим первую скобку:
$$uv-\frac{u^2v^2}{u(u+v)}=uv-\frac{uv^2}{u+v}=\frac{uv(u+v)-uv^2}{u+v}=\frac{u^2v}{u+v}.$$
Тогда
$$\frac{u^2v}{u+v}\cdot\frac{u^2-v^2}{\sqrt{uv}-v}=\frac{u^2v}{u+v}\cdot\frac{(u-v)(u+v)}{\sqrt{uv}-v}.$$
Так как $$\sqrt{uv}-v=\sqrt{v}(\sqrt{u}-\sqrt{v}),$$ после сокращений получаем
$$ab^{1/4}\left(a^{1/4}+b^{1/4}\right).$$
в) $$\left(\frac{2x+\sqrt{x}\sqrt{y}}{3x}\right)^{-1}\cdot\left(\frac{x^{3/2}-y^{3/2}}{x-\sqrt{x}\sqrt{y}}-\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)$$
Первый множитель:
$$\left(\frac{2x+\sqrt{x}\sqrt{y}}{3x}\right)^{-1}=\frac{3x}{2x+\sqrt{x}\sqrt{y}}.$$
Во второй скобке вынесем разности:
$$x^{3/2}-y^{3/2}=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{x}\sqrt{y}+y),$$
$$x-\sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{y}),$$
$$x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}).$$
Тогда
$$\frac{x^{3/2}-y^{3/2}}{x-\sqrt{x}\sqrt{y}}-\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$$
$$=\frac{x+\sqrt{x}\sqrt{y}+y}{\sqrt{x}}-\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$$
$$=\frac{x+\sqrt{x}\sqrt{y}+y}{\sqrt{x}}-(\sqrt{x}-\sqrt{y})=\frac{2\sqrt{x}\,y}{\sqrt{x}}=2\sqrt{y}.$$
Следовательно,
$$\frac{3x}{2x+\sqrt{x}\sqrt{y}}\cdot 2\sqrt{y}=3\sqrt{y}.$$
г) $$\left(\frac{1-c^{-2}}{c^{1/2}-c^{-1/2}}-\frac{2c^{1/2}}{c^2}+\frac{c^{-2}-c}{c^{1/2}-c^{-1/2}}\right)\cdot\left(1+\frac{2}{c^2}\right)^{-2}$$
Сложим дроби в первой скобке:
$$\frac{1-c^{-2}+c^{-2}-c}{c^{1/2}-c^{-1/2}}-\frac{2}{c^{3/2}}=\frac{1-c}{c^{1/2}-c^{-1/2}}-\frac{2}{c^{3/2}}.$$
Так как
$$c^{1/2}-c^{-1/2}=\frac{c-1}{c^{1/2}},$$
то
$$\frac{1-c}{c^{1/2}-c^{-1/2}}=-\frac{c^{1/2}(c-1)}{c-1}=-c^{1/2}.$$
Тогда первая скобка равна
$$-c^{1/2}-\frac{2}{c^{3/2}}=-\frac{c^2+2}{c^{3/2}}.$$
Вторая скобка:
$$\left(1+\frac{2}{c^2}\right)^{-2}=\left(\frac{c^2+2}{c^2}\right)^{-2}=\frac{c^4}{(c^2+2)^2}.$$
Перемножаем:
$$-\frac{c^2+2}{c^{3/2}}\cdot\frac{c^4}{(c^2+2)^2}=-\frac{c^{5/2}}{c^2+2}.$$
Ответ
а) $$x+1$$; б) $$ab^{1/4}\left(a^{1/4}+b^{1/4}\right)$$; в) $$3\sqrt{y}$$; г) $$-\frac{c^{5/2}}{c^2+2}$$.
