Упр.50 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму:
   а) $$1+11+\dots+\underbrace{11\dots1}_{n\text{ единиц}}$$;
   б) $$x+2x^2+3x^3+\dots+nx^n$$;
   в) $$\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}+\dots+\frac{1}{(k+n-1)(k+n)}$$;
   г) $$\sin(x)+\sin(2x)+\dots+\sin(nx)$$.

а) Представим каждое число из единиц в виде разности:

$$1= \frac{10-1}{9}, \quad 11=\frac{100-1}{9}, \quad \ldots, \quad \underbrace{11\ldots1}_{n\ \text{единиц}}=\frac{10^n-1}{9}.$$

Тогда

$$1+11+\cdots+\underbrace{11\ldots1}_{n\ \text{единиц}} =\frac{1}{9}\bigl((10-1)+(10^2-1)+\cdots+(10^n-1)\bigr)$$

$$=\frac{1}{9}\left(10+10^2+\cdots+10^n-n\right) =\frac{1}{9}\left(\frac{10(10^n-1)}{10-1}-n\right) =\frac{10^{n+1}-10-9n}{81}.$$

б) Обозначим

$$S=x+2x^2+3x^3+\cdots+nx^n.$$

Тогда

$$xS=x^2+2x^3+\cdots+(n-1)x^n+nx^{n+1}.$$

Вычтем:

$$S-xS=x+ x^2+\cdots+x^n-nx^{n+1}.$$

С другой стороны,

$$x+x^2+\cdots+x^n=\frac{x(x^n-1)}{x-1}.$$

Значит,

$$S(1-x)=\frac{x(x^n-1)}{x-1}-nx^{n+1}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$S(1-x)=\frac{x^{n+1}-x-nx^{n+2}+nx^{n+1}}{x-1} =\frac{x\bigl(x^n-1-nx^{n+1}+nx^n\bigr)}{x-1}.$$

После упрощения получаем

$$S=\frac{x\bigl(nx^{n+1}-(n+1)x^n+1\bigr)}{(x-1)^2}.$$

в) Разложим каждый дробный член на разность:

$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}, \quad \frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}, \quad \ldots$$

Тогда сумма телескопируется:

$$\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}+\cdots+\frac{1}{(k+n-1)(k+n)} =\frac{1}{k}-\frac{1}{k+n}.$$

г) Используем формулу

$$\sin t=\frac{\cos\left(t-\frac{x}{2}\right)-\cos\left(t+\frac{x}{2}\right)}{2\sin\frac{x}{2}}.$$

Тогда

$$\sin x+\sin 2x+\cdots+\sin nx$$

является телескопической суммой:

$$\sin x+\sin 2x+\cdots+\sin nx =\frac{\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{3x}{2}+\cos\frac{3x}{2}-\cos\frac{5x}{2}+\cdots+\cos\frac{(2n-1)x}{2}-\cos\frac{(2n+1)x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}}.$$

После сокращения получаем

$$\sin x+\sin 2x+\cdots+\sin nx =\frac{\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{(2n+1)x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}}.$$

По формуле разности косинусов:

$$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2},$$

следовательно,

$$\sin x+\sin 2x+\cdots+\sin nx =\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}\,\sin\frac{nx}{2}}{\sin\frac{x}{2}}.$$

Ответ

а) $$\frac{10^{n+1}-10-9n}{81}$$;

б) $$\frac{x\bigl(nx^{n+1}-(n+1)x^n+1\bigr)}{(x-1)^2}$$;

в) $$\frac{1}{k}-\frac{1}{k+n}$$;

г) $$\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}\,\sin\frac{nx}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$$.