Упр.5 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. а) Найдите корни уравнения $$a^x=a^c$$ ($$a>0,\ a\ne1$$). б) Решите неравенство $$a^x>a^c$$ (рассмотрите два случая: $$01$$).
2. Решите уравнение: а) $$27^x=9^{\frac{1}{5}}$$; б) $$9^{x+1}+3^{x+2}=18$$; в) $$0{,}5^{x^2+x-2{,}5}=\sqrt{2}$$; г) $$3^{x+2}-3^x=72$$.
3. Решите неравенство: а) $$5^{x^2-1}>\frac{1}{5}$$; б) $$0{,}2^{x^2-2}>5$$; в) $$3^x<\frac{1}{9}$$; г) $$\left(\frac{1}{2}\right)^{x+1}>4$$.

1) Для показательной функции при $$a>0,\ a\ne 1$$:

а) из равенства $$a^x=a^c$$ получаем $$x=c$$.

б) при $$a>1$$ знак неравенства сохраняется, а при $$0<a<1$$ — меняется:

$$a^x>a^c \iff \begin{cases} x>c, & a>1, \\ x<c, & 0<a<1. \end{cases}$$

Ответ

а) $$x=c$$; б) $$x>c$$ при $$a>1$$, $$x<c$$ при $$0<a<1$$.

2) Решим уравнения.

а) $$27^x=9^{1/5}$$

$$3^{3x}=3^{2/5}$$

$$3x=\frac{2}{5}, \quad x=\frac{2}{15}.$$

б) $$9^{x+1}+3^{x+2}=18$$

$$9\cdot 3^{2x}+9\cdot 3^x-18=0$$

$$3^{2x}+3^x-2=0.$$

Пусть $$t=3^x$$, тогда

$$t^2+t-2=0,$$

$$t_1=1,\quad t_2=-2.$$

Так как $$3^x>0$$, то $$t=1$$, значит $$3^x=1$$ и $$x=0$$.

в) $$0{,}5^{x^2+x-2{,}5}=\sqrt{2}$$

$$2^{-x^2-x+2{,}5}=2^{0{,}5}$$

$$-x^2-x+2{,}5=0{,}5$$

$$x^2+x-2=0$$

$$x_1=-2,\quad x_2=1.$$

г) $$3^{x+2}-3^x=72$$

$$9\cdot 3^x-3^x=72$$

$$8\cdot 3^x=72$$

$$3^x=9=3^2,$$

$$x=2.$$

Ответ

а) $$\frac{2}{15}$$; б) $$0$$; в) $$-2,\ 1$$; г) $$2$$.

3) Решим неравенства.

а) $$5^{x^2-1}>\frac{1}{5}$$

$$5^{x^2-1}>5^{-1}$$

Так как $$5>1$$, то

$$x^2-1>-1,$$

$$x^2>0,$$

$$x\ne 0.$$

б) $$0{,}2^{x^2-2}>5$$

$$5^{2-x^2}>5^1$$

Так как $$5>1$$, то

$$2-x^2>1,$$

$$x^2-1<0,$$

$$-1<x<1.$$

в) $$3^x<\frac{1}{9}$$

$$3^x<3^{-2}$$

Так как $$3>1$$, то

$$x<-2.$$

г) $$\left(\frac12\right)^{x+1}>4$$

$$2^{-x-1}>2^2$$

Так как основание $$2>1$$, то

$$-x-1>2,$$

$$x<-3.$$

Ответ

а) $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$; б) $$(-1;1)$$; в) $$(-\infty;-2)$$; г) $$(-\infty;-3)$$.