Упр.5 Глава 2 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Какую прямую называют касательной к графику функции $$f$$ в точке $$(x_0; f(x_0))$$?
- В чем состоит геометрический смысл производной?
- Напишите уравнение касательной к графику функции $$f$$ в точке $$(x_0; f(x_0))$$:
а) $$f(x)=\cos(x),\quad x_0=\frac{2?}{3}$$;
б) $$f(x)=\frac{1}{x},\quad x_0=2$$;
в) $$f(x)=\sin(x),\quad x_0=?$$;
г) $$f(x)=x62,\quad x_0=-\frac{1}{2}$$.
1) Касательной к графику функции $$f$$ в точке $$\left(x_0; f(x_0)\right)$$ называется прямая, проходящая через эту точку и имеющая угловой коэффициент $$k=f'(x_0)$$.
2) Геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке.
Ход решения
3) Найдём уравнения касательных по формуле
$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$
$$f(x)=\cos x,\quad x_0=\frac{2\pi}{3}.$$
$$f\!\left(x_0\right)=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12,$$
$$f’\!\left(x_0\right)=-\sin\frac{2\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}.$$
Тогда
$$y=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}\left(x-\frac{2\pi}{3}\right).$$
После преобразования:
$$y=-\frac{\sqrt3}{2}x+\frac{\pi\sqrt3}{3}-\frac12.$$
$$f(x)=\frac1x,\quad x_0=2.$$
$$f\!\left(x_0\right)=\frac12,\qquad f’\!\left(x_0\right)=-\frac1{x^2}\Bigg|_{x=2}=-\frac14.$$
Тогда
$$y=\frac12-\frac14(x-2)=-\frac14x+1.$$
$$f(x)=\sin x,\quad x_0=\pi.$$
$$f\!\left(x_0\right)=\sin\pi=0,\qquad f’\!\left(x_0\right)=\cos\pi=-1.$$
Тогда
$$y=0-1\cdot(x-\pi)=-x+\pi.$$
$$f(x)=x^2,\quad x_0=-\frac12.$$
$$f\!\left(x_0\right)=\left(-\frac12\right)^2=\frac14,\qquad f’\!\left(x_0\right)=2x\Big|_{x=-1/2}=-1.$$
Тогда
$$y=\frac14-1\cdot\left(x+\frac12\right)=-x-\frac14.$$
Ответ
1) Касательная — прямая, проходящая через точку $$\left(x_0; f(x_0)\right)$$ и имеющая угловой коэффициент $$f'(x_0)$$.
2) $$f'(x_0)$$ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке $$x_0$$.
3) а) $$y=-\frac{\sqrt3}{2}x+\frac{\pi\sqrt3}{3}-\frac12$$; б) $$y=-\frac14x+1$$; в) $$y=-x+\pi$$; г) $$y=-x-\frac14$$.
