Упр.5 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Определите знак:
а) sin(-212°) и ctg(7?/9); б) cos(305°) и tg(-6?/5);
в) cos(-105°) и ctg(11?/9); г) sin(-324°) и tg(9?/4).
3) По данному значению одной из тригонометрических функций и промежутку, которому принадлежит ?, найдите значения остальных трех основных тригонометрических функций:
а) sin(?)=v3/3, ?/2 < ? < ?; б) ctg(?)=-3, 3?/2 < ? < 2?; в) tg(?)=1/2, ? < ? < 3?/2; г) cos(?)=1/7, 0 < ? < ?/2.

1. Знаки тригонометрических функций по четвертям:

   $$P_\alpha \in I:\ \sin \alpha > 0,\ \cos \alpha > 0,\ \tg \alpha > 0,\ \ctg \alpha > 0;$$
   $$P_\alpha \in II:\ \sin \alpha > 0,\ \cos \alpha < 0,\ \tg \alpha < 0,\ \ctg \alpha < 0;$$
   $$P_\alpha \in III:\ \sin \alpha < 0,\ \cos \alpha < 0,\ \tg \alpha > 0,\ \ctg \alpha > 0;$$
   $$P_\alpha \in IV:\ \sin \alpha < 0,\ \cos \alpha > 0,\ \tg \alpha < 0,\ \ctg \alpha < 0.$$

2. Определим знак каждой функции:

   а) $$\sin(-212^\circ)=\sin 148^\circ>0,\qquad \ctg\frac{7\pi}{9}<0;$$
   б) $$\cos 305^\circ=\cos 55^\circ>0,\qquad \tg\left(-\frac{6\pi}{5}\right)=\tg\frac{4\pi}{5}<0;$$
   в) $$\cos(-105^\circ)=\cos 255^\circ<0,\qquad \ctg\frac{11\pi}{9}=\ctg\frac{2\pi}{9}>0;$$
   г) $$\sin(-324^\circ)=\sin 36^\circ>0,\qquad \tg\frac{9\pi}{4}=\tg\frac{\pi}{4}>0.$$

3. Найдём остальные три основные тригонометрические функции.

   а) $$\sin \alpha=\frac{\sqrt3}{3},\ \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$

   $$\cos \alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac13}=-\sqrt{\frac23}=-\frac{\sqrt6}{3};$$
   $$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{\sqrt3/3}{-\sqrt6/3}=-\frac{\sqrt2}{2};$$
   $$\ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha}=-\sqrt2.$$

   б) $$\ctg \alpha=-3,\ \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi.$$

   $$\sin \alpha=-\sqrt{\frac{1}{1+\ctg^2\alpha}}=-\sqrt{\frac{1}{1+9}}=-\frac{1}{\sqrt{10}}=-\frac{\sqrt{10}}{10};$$
   $$\cos \alpha=\ctg \alpha\cdot \sin \alpha=(-3)\cdot\left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right)=\frac{3\sqrt{10}}{10};$$
   $$\tg \alpha=\frac{1}{\ctg \alpha}=-\frac13.$$

   в) $$\tg \alpha=\frac12,\ \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$

   $$\cos \alpha=-\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2\alpha}}=-\sqrt{\frac{1}{1+\frac14}}=-\sqrt{\frac45}=-\frac{2\sqrt5}{5};$$
   $$\sin \alpha=\tg \alpha\cdot \cos \alpha=\frac12\cdot\left(-\frac{2\sqrt5}{5}\right)=-\frac{\sqrt5}{5};$$
   $$\ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha}=2.$$

   г) $$\cos \alpha=\frac17,\ 0<\alpha<\frac{\pi}{2}.$$

   $$\sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{1}{49}}=\sqrt{\frac{48}{49}}=\frac{4\sqrt3}{7};$$
   $$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{4\sqrt3/7}{1/7}=4\sqrt3;$$
   $$\ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha}=\frac{1}{4\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{12}.$$

Ответ

1) В I четверти все функции положительны; во II: $$\sin>0,\ \cos<0,\ \tg<0,\ \ctg<0$$; в III: $$\sin<0,\ \cos<0,\ \tg>0,\ \ctg>0$$; в IV: $$\sin<0,\ \cos>0,\ \tg<0,\ \ctg<0$$.
2) а) $$\sin(-212^\circ)>0,\ \ctg\frac{7\pi}{9}<0$$; б) $$\cos 305^\circ>0,\ \tg\left(-\frac{6\pi}{5}\right)<0$$; в) $$\cos(-105^\circ)<0,\ \ctg\frac{11\pi}{9}>0$$; г) $$\sin(-324^\circ)>0,\ \tg\frac{9\pi}{4}>0$$.
3) а) $$\cos \alpha=-\frac{\sqrt6}{3},\ \tg \alpha=-\frac{\sqrt2}{2},\ \ctg \alpha=-\sqrt2$$;
б) $$\sin \alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10},\ \cos \alpha=\frac{3\sqrt{10}}{10},\ \tg \alpha=-\frac13$$;
в) $$\sin \alpha=-\frac{\sqrt5}{5},\ \cos \alpha=-\frac{2\sqrt5}{5},\ \ctg \alpha=2$$;
г) $$\sin \alpha=\frac{4\sqrt3}{7},\ \tg \alpha=4\sqrt3,\ \ctg \alpha=\frac{\sqrt3}{12}$$.