Упр.5 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1) Знаки тригонометрических функций зависят от четверти, в которой лежит точка $$P_\alpha$$:

Ход решения

2) Определим знак каждой функции, приводя угол к промежутку от $$0$$ до $$2\pi$$ или к острому углу.

а) $$\sin(-212^\circ)=\sin 148^\circ>0,$$ так как $$148^\circ$$ лежит во II четверти.

$$\ctg\frac{7\pi}{9}<0,$$ так как $$\frac{7\pi}{9}\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$$, то есть это II четверть.

б) $$\cos 305^\circ=\cos 55^\circ>0,$$ так как $$305^\circ$$ лежит в IV четверти, а косинус там положителен.

$$\tg\left(-\frac{6\pi}{5}\right)=\tg\frac{4\pi}{5}<0,$$ так как $$\frac{4\pi}{5}$$ лежит во II четверти.

в) $$\cos(-105^\circ)=\cos 255^\circ<0,$$ так как $$255^\circ$$ лежит в III четверти.

$$\ctg\frac{11\pi}{9}=\ctg\frac{2\pi}{9}>0,$$ так как $$\frac{2\pi}{9}$$ лежит в I четверти.

г) $$\sin(-324^\circ)=\sin 36^\circ>0,$$ так как $$36^\circ$$ лежит в I четверти.

$$\tg\frac{9\pi}{4}=\tg\frac{\pi}{4}>0,$$ так как $$\frac{\pi}{4}$$ лежит в I четверти.

3) Найдём значения остальных тригонометрических функций.

а) $$\sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3},\quad \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$ Тогда $$\alpha$$ во II четверти, значит $$\cos \alpha<0$$, $$\tg \alpha<0$$, $$\ctg \alpha<0$$.

$$\cos \alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha} =-\sqrt{1-\frac{1}{3}} =-\sqrt{\frac{2}{3}} =-\frac{\sqrt{6}}{3};$$
$$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} =\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{-\frac{\sqrt{6}}{3}} =-\frac{\sqrt{2}}{2}; \qquad \ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha}=-\sqrt{2}.$$

б) $$\ctg \alpha=-3,\quad \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi.$$ Это IV четверть, значит $$\sin \alpha<0$$, $$\cos \alpha>0$$, $$\tg \alpha<0$$.

$$\sin \alpha=-\sqrt{\frac{1}{1+\ctg^2\alpha}} =-\sqrt{\frac{1}{1+9}} =-\frac{1}{\sqrt{10}} =-\frac{\sqrt{10}}{10};$$
$$\cos \alpha=\ctg \alpha\cdot \sin \alpha =(-3)\cdot\left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right) =\frac{3\sqrt{10}}{10};$$
$$\tg \alpha=\frac{1}{\ctg \alpha}=-\frac{1}{3}.$$

в) $$\tg \alpha=\frac{1}{2},\quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$ Это III четверть, значит $$\sin \alpha<0$$, $$\cos \alpha<0$$, $$\ctg \alpha>0$$.

$$\cos \alpha=-\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2\alpha}} =-\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{4}}} =-\sqrt{\frac{4}{5}} =-\frac{2\sqrt{5}}{5};$$
$$\sin \alpha=\tg \alpha\cdot \cos \alpha =\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right) =-\frac{\sqrt{5}}{5}; \qquad \ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha}=2.$$

г) $$\cos \alpha=\frac{1}{7},\quad 0<\alpha<\frac{\pi}{2}.$$ Это I четверть, значит все функции положительны.

$$\sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha} =\sqrt{1-\frac{1}{49}} =\sqrt{\frac{48}{49}} =\frac{4\sqrt{3}}{7};$$
$$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} =\frac{4\sqrt{3}}{7}\cdot 7 =4\sqrt{3}; \qquad \ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha} =\frac{1}{4\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{3}}{12}.$$

Ответ

2) а) $$\sin(-212^\circ)>0,\ \ctg\frac{7\pi}{9}<0$$; б) $$\cos 305^\circ>0,\ \tg\left(-\frac{6\pi}{5}\right)<0$$; в) $$\cos(-105^\circ)<0,\ \ctg\frac{11\pi}{9}>0$$; г) $$\sin(-324^\circ)>0,\ \tg\frac{9\pi}{4}>0$$.

3) а) $$\cos \alpha=-\frac{\sqrt{6}}{3},\ \tg \alpha=-\frac{\sqrt{2}}{2},\ \ctg \alpha=-\sqrt{2}$$; б) $$\sin \alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10},\ \cos \alpha=\frac{3\sqrt{10}}{10},\ \tg \alpha=-\frac{1}{3}$$; в) $$\sin \alpha=-\frac{\sqrt{5}}{5},\ \cos \alpha=-\frac{2\sqrt{5}}{5},\ \ctg \alpha=2$$; г) $$\sin \alpha=\frac{4\sqrt{3}}{7},\ \tg \alpha=4\sqrt{3},\ \ctg \alpha=\frac{\sqrt{3}}{12}$$.