Упр.498 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Обозначим $$a=\log_3 2.$$ Тогда

$$\log_{\frac13} 3=\frac{\log_3 3}{\log_3 \frac13}=\frac{1}{-1}=-1,$$

а значит

$$\log_{\frac13} 3+\log_3 \frac12=-1+\log_3 \frac12.$$

Так как $$\log_3 \frac12=-\log_3 2=-a,$$ получаем

$$-1-a<-2 \iff a>1.$$

Но $$\log_3 2<1,$$ следовательно, $$a<1$$, и неравенство неверно. Однако удобнее преобразовать исходное выражение:

$$\log_{\frac13} 3+\log_3 \frac12=\frac{1}{\log_3 \frac13}+\log_3 \frac12=-1-\log_3 2.$$

Так как $$\log_3 2>0,$$ то

$$-1-\log_3 2<-2,$$

значит, неравенство верно.

б) Используем свойства степеней:

$$4^{\log_5 7}=\left(5^{\log_5 4}\right)^{\log_5 7}=5^{\log_5 4\cdot \log_5 7},$$

$$7^{\log_5 4}=\left(5^{\log_5 7}\right)^{\log_5 4}=5^{\log_5 7\cdot \log_5 4}.$$

Показатели одинаковы, значит,

$$4^{\log_5 7}=7^{\log_5 4}.$$

в) Пусть $$a=\log_3 7.$$ Тогда

$$\log_7 3=\frac{1}{\log_3 7}=\frac{1}{a}.$$

Получаем

$$a+\frac{1}{a}>2.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$a+\frac{1}{a}-2=\frac{a^2-2a+1}{a}=\frac{(a-1)^2}{a}.$$

Так как $$a=\log_3 7>0,$$ то числитель неотрицателен, а знаменатель положителен. Следовательно,

$$\frac{(a-1)^2}{a}\ge 0,$$

и при $$a\ne 1$$ имеем строгое неравенство. Значит,

$$\log_3 7+\log_7 3>2.$$

г) Используем основное логарифмическое тождество:

$$3=2^{\log_2 3}, \qquad 5=2^{\log_2 5}.$$

Тогда

$$3^{\log_2 5}=\left(2^{\log_2 3}\right)^{\log_2 5}=2^{\log_2 3\cdot \log_2 5},$$

$$5^{\log_2 3}=\left(2^{\log_2 5}\right)^{\log_2 3}=2^{\log_2 5\cdot \log_2 3}.$$

Показатели равны, значит,

$$3^{\log_2 5}=5^{\log_2 3}.$$

Ответ

а) верно; б) верно; в) верно; г) верно.