Упр.498 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

а) Преобразуем первый логарифм:
$$\log_{\frac13} 3=\frac{\log_3 3}{\log_3 \frac13}=\frac{1}{\log_3 \frac13}.$$
Пусть $$a=\log_3 \frac12.$$ Тогда нужно доказать, что
$$\frac1a+a<-2.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\frac1a+a+2<0,$$
$$\frac{1+a^2+2a}{a}<0,$$
$$\frac{(a+1)^2}{a}<0.$$
Так как $$a=\log_3 \frac12<0,$$ а числитель $$\,(a+1)^2\ge 0,$$ то дробь отрицательна. Неравенство верно.
б) Запишем числа 4 и 7 через основание 5:
$$4=5^{\log_5 4}, \qquad 7=5^{\log_5 7}.$$
Тогда
$$4^{\log_5 7}=\left(5^{\log_5 4}\right)^{\log_5 7}=5^{\log_5 4\cdot \log_5 7},$$
$$7^{\log_5 4}=\left(5^{\log_5 7}\right)^{\log_5 4}=5^{\log_5 7\cdot \log_5 4}.$$
Показатели равны, значит, равны и степени. Равенство верно.
в) Преобразуем второй логарифм:
$$\log_7 3=\frac{\log_3 3}{\log_3 7}=\frac1{\log_3 7}.$$
Пусть $$a=\log_3 7.$$ Тогда нужно доказать, что
$$a+\frac1a>2.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$a+\frac1a-2>0,$$
$$\frac{a^2+1-2a}{a}>0,$$
$$\frac{(a-1)^2}{a}>0.$$
Так как $$a=\log_3 7>0,$$ а числитель $$\,(a-1)^2\ge 0,$$ то дробь положительна. Неравенство верно.
г) Запишем числа 3 и 5 через основание 2:
$$3=2^{\log_2 3}, \qquad 5=2^{\log_2 5}.$$
Тогда
$$3^{\log_2 5}=\left(2^{\log_2 3}\right)^{\log_2 5}=2^{\log_2 3\cdot \log_2 5},$$
$$5^{\log_2 3}=\left(2^{\log_2 5}\right)^{\log_2 3}=2^{\log_2 5\cdot \log_2 3}.$$
Показатели равны, значит, равны и степени. Равенство верно.