Упр.49 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Упростите выражения:
а) $$\left(\sqrt{k}-\frac{k^{3/4}+1}{k^{1/4}+1}\right)^{-1}-\frac{k^{3/4}+\sqrt{k}}{\sqrt{k}-1}$$;
б) $$\left(\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-(2\sqrt{b})^2}{a-b}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right):\frac{32b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$;
в) $$\left(\frac{x^{3/4}-y^{3/4}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\left(x^{1/4}+y^{1/4}\right)\right)\left(\left(\frac{x}{y}\right)^{1/4}+1\right)$$;
г) $$\frac{\sqrt{a^3}+\sqrt{ab^2}-\sqrt{a^2b}-\sqrt{b^3}}{b^{5/4}+(a^4b)^{1/4}-(ab^4)^{1/4}-a^{5/4}}$$.
а) $$\left(\sqrt[4]{k}-\frac{\sqrt[4]{k^3}+1}{\sqrt[4]{k}+1}\right)^{-1}-\frac{\sqrt[4]{k^3}+\sqrt{k}}{\sqrt[4]{k}-1}$$
Так как $$\sqrt[4]{k^3}=\sqrt{k}\,\sqrt[4]{k},$$ то
$$\sqrt[4]{k}-\frac{\sqrt[4]{k^3}+1}{\sqrt[4]{k}+1} =\frac{\sqrt[4]{k}(\sqrt[4]{k}+1)-\sqrt[4]{k^3}-1}{\sqrt[4]{k}+1} =\frac{\sqrt[4]{k}-1}{\sqrt[4]{k}+1}.$$
Тогда
$$\left(\frac{\sqrt[4]{k}-1}{\sqrt[4]{k}+1}\right)^{-1} =\frac{\sqrt[4]{k}+1}{\sqrt[4]{k}-1}.$$
Кроме того,
$$\frac{\sqrt[4]{k^3}+\sqrt{k}}{\sqrt[4]{k}-1} =\frac{\sqrt{k}(\sqrt[4]{k}+1)}{\sqrt[4]{k}-1}.$$
Следовательно,
$$\frac{\sqrt[4]{k}+1}{\sqrt[4]{k}-1}-\frac{\sqrt{k}(\sqrt[4]{k}+1)}{\sqrt[4]{k}-1} =\frac{(\sqrt[4]{k}+1)(1-\sqrt{k})}{\sqrt[4]{k}-1}.$$
Так как $$1-\sqrt{k}=1-(\sqrt[4]{k})^2=(1-\sqrt[4]{k})(1+\sqrt[4]{k}),$$ то
$$\frac{(\sqrt[4]{k}+1)(1-\sqrt{k})}{\sqrt[4]{k}-1} =-\sqrt[4]{k}-1.$$
б) $$\left(\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-(2\sqrt{b})^2}{a-b}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right):\frac{32b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$
Преобразуем первую дробь:
$$\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-(2\sqrt{b})^2}{a-b} =\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+3\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} =\frac{\sqrt{a}+3\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.$$
Тогда
$$\frac{\sqrt{a}+3\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} =\frac{4\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.$$
Деление на $$\frac{32b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$ заменим умножением на обратную дробь:
$$\frac{4\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\cdot\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{32b\sqrt{b}} =\frac{1}{8b}.$$
в) $$\left(\frac{\sqrt[4]{x^3}-\sqrt[4]{y^3}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\left(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}\right)\right)\left(\sqrt[4]{\frac{x}{y}}+1\right)$$
Используем формулу разности квадратов:
$$\sqrt[4]{x^3}-\sqrt[4]{y^3} =\left(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y}\right).$$
А также
$$\sqrt{x}-\sqrt{y} =\left(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}\right)\left(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}\right).$$
Тогда
$$\frac{\sqrt[4]{x^3}-\sqrt[4]{y^3}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} =\frac{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}.$$
Следовательно,
$$\frac{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}-\left(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}\right) =\frac{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y}-\sqrt{x}-2\sqrt[4]{xy}-\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}$$
$$=-\frac{\sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}.$$
Умножаем на $$\sqrt[4]{\frac{x}{y}}+1=\frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}{\sqrt[4]{y}}$$:
$$-\frac{\sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}\cdot\frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}{\sqrt[4]{y}} =-\sqrt[4]{x}.$$
г) $$\frac{\sqrt{a^3}+\sqrt{ab^2}-\sqrt{a^2b}-\sqrt{b^3}}{\sqrt[4]{b^5}+\sqrt[4]{a^4b}-\sqrt[4]{ab^4}-\sqrt[4]{a^5}}$$
Преобразуем числитель и знаменатель:
$$\sqrt{a^3}+\sqrt{ab^2}-\sqrt{a^2b}-\sqrt{b^3} =\sqrt{a}(a+b)-\sqrt{b}(a+b) =(\sqrt{a}-\sqrt{b})(a+b),$$
$$\sqrt[4]{b^5}+\sqrt[4]{a^4b}-\sqrt[4]{ab^4}-\sqrt[4]{a^5} =\sqrt[4]{b}(b+a)-\sqrt[4]{a}(b+a) =(\sqrt[4]{b}-\sqrt[4]{a})(a+b).$$
Тогда
$$\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(a+b)}{(\sqrt[4]{b}-\sqrt[4]{a})(a+b)} =\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{b}-\sqrt[4]{a}}.$$
Так как $$\sqrt{a}-\sqrt{b}=(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}),$$ то
$$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{b}-\sqrt[4]{a}} =-\left(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}\right).$$
Ответ
а) $$-\sqrt[4]{k}-1$$; б) $$\frac{1}{8b}$$; в) $$-\sqrt[4]{x}$$; г) $$-\left(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}\right)$$.
