Упр.49 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Члены арифметической $$\left(a_n\right)$$ и геометрической $$\left(b_n\right)$$ прогрессий удовлетворяют условиям $$a_{40}=b_{40}>0$$, $$a_{60}=b_{60}>0$$. Что больше: $$a_{50}$$ или $$b_{50}$$?

Обозначим

$$a=a_{40}=b_{40}, \qquad b=a_{60}=b_{60}, \qquad a>0,\ b>0.$$

Тогда для арифметической прогрессии

$$a_{50}=\frac{a+b}{2},$$

а для геометрической прогрессии

$$b_{50}=\sqrt{ab}.$$

Сравним эти величины:

$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$$

по неравенству среднего арифметического и среднего геометрического. Значит,

$$a_{50}\ge b_{50}.$$

Равенство возможно только при $$a=b$$, то есть когда прогрессии в этих точках совпадают.

Ответ

$$a_{50}\ge b_{50}.$$