Упр.482 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Проверим каждое равенство по определению логарифма: если $$\log_a b = c,$$ то $$a^c=b.$$

1. $$\log_{2\sqrt{2}} 128=\frac{14}{3}$$

   $$2\sqrt{2}=2\cdot 2^{1/2}=2^{3/2},$$

   тогда

   $$\left(2\sqrt{2}\right)^{14/3}=\left(2^{3/2}\right)^{14/3}=2^7=128.$$

   Равенство верно.

2. $$\log_{0{,}2} 0{,}008=3$$

   Так как $$0{,}2=\frac15,$$ то

   $$0{,}2^3=\left(\frac15\right)^3=\frac{1}{125}=0{,}008.$$

   Равенство верно.

3. $$\log_{\sqrt{5}} 0{,}2=-2$$

   Поскольку $$\sqrt{5}=5^{1/2}$$ и $$0{,}2=\frac15=5^{-1},$$ получаем

   $$\left(\sqrt{5}\right)^{-2}=\left(5^{1/2}\right)^{-2}=5^{-1}=0{,}2.$$

   Равенство верно.

4. $$\log_{0{,}2} 125=-3$$

   Так как $$0{,}2=\frac15,$$ а $$125=5^3,$$ то

   $$0{,}2^{-3}=\left(\frac15\right)^{-3}=5^3=125.$$

   Равенство верно.

Ответ: все четыре равенства верны.