Упр.48 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 48. Найдите произведение первых n членов геометрической прогрессии, если известна их сумма А и сумма обратных к ним величин B (B?0).

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель — $$q$$.

Тогда сумма первых $$n$$ членов:

$$A=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}.$$

Сумма обратных к ним величин равна

$$B=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_1q}+\cdots+\frac{1}{b_1q^{n-1}}=\frac{1}{b_1}\cdot\frac{1-\frac{1}{q^n}}{1-\frac{1}{q}}.$$

Преобразуем:

$$B=\frac{q(q^n-1)}{b_1q^n(q-1)}.$$

Тогда

$$\frac{A}{B}=b_1^2q^{\,n-1}.$$

Искомое произведение первых $$n$$ членов прогрессии:

$$D=b_1\cdot b_1q\cdot \ldots \cdot b_1q^{n-1}=b_1^nq^{1+2+\cdots+(n-1)}.$$

Сумма показателей равна

$$1+2+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2},$$

поэтому

$$D=b_1^nq^{\frac{n(n-1)}{2}}.$$

Используя равенство $$\frac{A}{B}=b_1^2q^{\,n-1},$$ получаем

$$D=\left(\frac{A}{B}\right)^{\frac{n}{2}}.$$

Ответ

$$\left(\frac{A}{B}\right)^{\frac{n}{2}}$$