Упр.48 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) ((a+2)/v(2a)-a/(v(2a)+2)+2/(a-v(2a)))·(va-v2)/(a+2);
б) ((ava+bvb)/(va+vb)-v(ab))((va+vb)/(a-b))^2;
в) (1/(vp+v(p+1))+1/(vp-v(p-1))):(1+v((p+1)/(p-1)));
г) (vc/2-1/(2vc))^2((vc-1)/(vc+1)-(vc+1)/(vc-1)).

1. а)

   $$\left(\frac{a+2}{\sqrt{2a}}-\frac{a}{\sqrt{2a}+2}+\frac{2}{a-\sqrt{2a}}\right)\cdot \frac{\sqrt{a}-\sqrt{2}}{a+2}$$

   Преобразуем знаменатели:
   $$\sqrt{2a}=\sqrt{2}\sqrt{a}, \qquad \sqrt{2a}+2=\sqrt{2}\,(\sqrt{a}+\sqrt{2}), \qquad a-\sqrt{2a}=\sqrt{a}\,(\sqrt{a}-\sqrt{2}).$$

   Тогда
   $$\left(\frac{a+2}{\sqrt{2a}}-\frac{a}{\sqrt{2}(\sqrt{a}+\sqrt{2})}+\frac{2}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{2})}\right)\cdot \frac{\sqrt{a}-\sqrt{2}}{a+2}.$$

   Приведём выражение в скобках к общему знаменателю и упростим:
   $$\frac{a^2-4-a^2+a\sqrt{2a}+4+2\sqrt{2a}}{\sqrt{2a}(\sqrt{a}+\sqrt{2})(\sqrt{a}-\sqrt{2})}\cdot \frac{\sqrt{a}-\sqrt{2}}{a+2}.$$

   После сокращения получаем:
   $$\frac{\sqrt{2a}(a+2)}{\sqrt{2a}(\sqrt{a}+\sqrt{2})(a+2)}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{2}}.$$

2. б)

   $$\left(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\right)\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\right)^2$$

   Преобразуем первую скобку:
   $$\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}-a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.$$

   Группируем:
   $$\frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})-b(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} =\frac{(a-b)(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.$$

   Тогда
   $$\frac{(a-b)(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\cdot \left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\right)^2 =\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}.$$

   Так как
   $$ (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b, $$
   то получаем
   $$1.$$

3. в)

   $$\left(\frac{1}{\sqrt{p}+\sqrt{p+1}}+\frac{1}{\sqrt{p}-\sqrt{p-1}}\right):\left(1+\sqrt{\frac{p+1}{p-1}}\right)$$

   Преобразуем дроби в первой скобке:
   $$\frac{\sqrt{p}-\sqrt{p+1}}{p-(p+1)}+\frac{\sqrt{p}+\sqrt{p-1}}{p-(p-1)}.$$

   Тогда
   $$\left(\sqrt{p+1}-\sqrt{p}+\sqrt{p}+\sqrt{p-1}\right):\left(1+\frac{\sqrt{p+1}}{\sqrt{p-1}}\right).$$

   Получаем
   $$\left(\sqrt{p+1}+\sqrt{p-1}\right):\frac{\sqrt{p-1}+\sqrt{p+1}}{\sqrt{p-1}}.$$

   Деление на дробь заменяем умножением:
   $$\left(\sqrt{p+1}+\sqrt{p-1}\right)\cdot \frac{\sqrt{p-1}}{\sqrt{p-1}+\sqrt{p+1}}=\sqrt{p-1}.$$

4. г)

   $$\left(\frac{\sqrt{c}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{c}}\right)^2\left(\frac{\sqrt{c}-1}{\sqrt{c}+1}-\frac{\sqrt{c}+1}{\sqrt{c}-1}\right)$$

   Первая скобка:
   $$\left(\frac{c-1}{2\sqrt{c}}\right)^2=\frac{(c-1)^2}{4c}.$$

   Вторая скобка:
   $$\frac{(\sqrt{c}-1)^2-(\sqrt{c}+1)^2}{(\sqrt{c}+1)(\sqrt{c}-1)} =\frac{c-2\sqrt{c}+1-c-2\sqrt{c}-1}{c-1} =\frac{-4\sqrt{c}}{c-1}.$$

   Тогда
   $$\frac{(c-1)^2}{4c}\cdot \frac{-4\sqrt{c}}{c-1} =-\frac{c-1}{\sqrt{c}} =\frac{1-c}{\sqrt{c}}.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{2}}$$; б) $$1$$; в) $$\sqrt{p-1}$$; г) $$\frac{1-c}{\sqrt{c}}$$.