Упр.48 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите произведение первых $$n$$ членов геометрической прогрессии, если известна их сумма $$A$$ и сумма обратных к ним величин $$B$$ (последняя не равна нулю).

Пусть первые $$n$$ членов геометрической прогрессии имеют вид $$b_1,\; b_1q,\; b_1q^2,\; \ldots,\; b_1q^{n-1}.$$ Тогда их сумма равна

$$A=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}.$$

Сумма обратных величин:

$$B=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_1q}+\cdots+\frac{1}{b_1q^{n-1}}=\frac{1}{b_1}\cdot \frac{1-\frac{1}{q^n}}{1-\frac{1}{q}}.$$

Преобразуем:

$$B=\frac{q(q^n-1)}{b_1q^n(q-1)}.$$

Тогда

$$\frac{A}{B}=b_1^2q^{\,n-1}.$$

Искомое произведение первых $$n$$ членов прогрессии:

$$D=b_1\cdot b_1q\cdot \ldots \cdot b_1q^{n-1}=b_1^nq^{\frac{n(n-1)}{2}}.$$

Используя найденное выражение для $$\frac{A}{B}$$, получаем

$$D=\left(b_1^2q^{\,n-1}\right)^{\frac n2}=\left(\frac{A}{B}\right)^{\frac n2}.$$

Ответ: $$\left(\frac{A}{B}\right)^{\frac n2}.$$