Упр.470 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$3^x+3^{3-x}=12.$$

Преобразуем второе слагаемое:

$$3^x+\frac{27}{3^x}=12.$$

Введём новую неизвестную $$t=3^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$t+\frac{27}{t}=12,$$

$$t^2-12t+27=0.$$

$$t_1=3,\quad t_2=9.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$3^x=3 \Rightarrow x=1,$$

$$3^x=9=3^2 \Rightarrow x=2.$$

б) $$4^{\sqrt{x-2}}+16=10\cdot 2^{\sqrt{x-2}}.$$

Так как $$4^{\sqrt{x-2}}=\left(2^{\sqrt{x-2}}\right)^2,$$ введём замену

$$t=2^{\sqrt{x-2}},\quad t\ge 1.$$

Тогда

$$t^2+16=10t,$$

$$t^2-10t+16=0.$$

$$t_1=2,\quad t_2=8.$$

1) $$2^{\sqrt{x-2}}=2 \Rightarrow \sqrt{x-2}=1 \Rightarrow x=3.$$

2) $$2^{\sqrt{x-2}}=8=2^3 \Rightarrow \sqrt{x-2}=3 \Rightarrow x=11.$$

в) $$\left(\frac15\right)^{1-x}-\left(\frac15\right)^x=4{,}96.$$

Преобразуем первое слагаемое:

$$\left(\frac15\right)^{1-x}=5\left(\frac15\right)^{-x}=\frac{1}{5}\cdot 5^x.$$

Удобнее сделать замену:

$$t=\left(\frac15\right)^x,\quad t>0.$$

Тогда

$$\left(\frac15\right)^{1-x}=\frac15\cdot \left(\frac15\right)^{-x}=\frac{1}{5t},$$

и уравнение принимает вид

$$\frac{1}{5t}-t=4{,}96.$$

Умножим на $$5t$$:

$$1-5t^2=24{,}8t,$$

$$5t^2+24{,}8t-1=0.$$

Удобнее заметить, что $$4{,}96=\frac{124}{25}$$, тогда

$$\frac{1}{5t}-t=\frac{124}{25}.$$

Умножая на $$25t$$, получаем

$$5-25t^2=124t,$$

$$25t^2+124t-5=0.$$

$$D=124^2+4\cdot 25\cdot 5=15876=126^2.$$

$$t=\frac{-124\pm 126}{50}.$$

$$t_1=\frac{1}{25},\quad t_2=-5.$$

Так как $$t>0,$$ подходит только $$t=\frac{1}{25}.$$ Тогда

$$\left(\frac15\right)^x=\frac{1}{25}=\left(\frac15\right)^2,$$

откуда

$$x=2.$$

г) $$4^x-0{,}25^{\,x-2}=15.$$

Так как $$0{,}25=\frac14,$$ имеем

$$0{,}25^{\,x-2}=\left(\frac14\right)^{x-2}=4^{2-x}=\frac{16}{4^x}.$$

Тогда

$$4^x-\frac{16}{4^x}=15.$$

Введём замену $$t=4^x,\quad t>0.$$ Получаем

$$t-\frac{16}{t}=15,$$

$$t^2-15t-16=0.$$

$$t_1=16,\quad t_2=-1.$$

Так как $$t>0,$$ подходит только $$t=16.$$ Тогда

$$4^x=16=4^2,$$

откуда

$$x=2.$$

Ответ

а) $$x=1,\;2$$; б) $$x=3,\;11$$; в) $$x=2$$; г) $$x=2$$.