Упр.47 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Известно, что суммы первых $$m$$ и $$n$$ членов арифметической прогрессии равны, т. е. $$S_m=S_n$$. Найдите $$S_{m+n}$$.

Для арифметической прогрессии

$$S_m=\frac{2a_1+d(m-1)}{2}\cdot m,$$

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

По условию $$S_m=S_n,$$ значит

$$\frac{2a_1+d(m-1)}{2}\cdot m=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

Умножим на $$2$$ и раскроем скобки:

$$2a_1m+dm(m-1)=2a_1n+dn(n-1).$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2a_1(m-n)+d\bigl(m^2-m-n^2+n\bigr)=0,$$

$$2a_1(m-n)+d(m-n)(m+n-1)=0.$$

Так как $$m\ne n$$, можно разделить на $$m-n$$:

$$2a_1+d(m+n-1)=0.$$

Тогда сумма первых $$m+n$$ членов равна

$$S_{m+n}=\frac{2a_1+d(m+n-1)}{2}\cdot (m+n)=0.$$

Ответ: $$0$$.