Упр.46 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 46. Числа х, у, z (в указанном порядке) образуют геометрическую прогрессию, а числа x+y, y+z, z+x — арифметическую. Найдите знаменатель геометрической прогрессии. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolmogor10-11 zadachi/46 1023

Так как числа $$x+y,\ y+z,\ z+x$$ образуют арифметическую прогрессию, то средний член равен полусумме крайних:

$$2(y+z)=(x+y)+(z+x).$$

Отсюда

$$2y+2z=2x+y+z,$$

$$y+z=2x.$$

Теперь используем условие геометрической прогрессии для чисел $$x,\ y,\ z$$:

$$y=xq,\quad z=xq^2,$$

где $$q$$ — знаменатель прогрессии.

Подставим в равенство $$y+z=2x$$:

$$xq+xq^2=2x.$$

Так как $$x\ne 0$$, делим на $$x$$:

$$q+q^2=2,$$

$$q^2+q-2=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=1+8=9,$$

$$q=\frac{-1\pm 3}{2}.$$

Получаем:

$$q_1=1,\quad q_2=-2.$$

Ответ

$$-2;\ 1$$