Упр.455 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Так как $$-1 \le \sin x \le 1,$$ а при основании $$\frac12<1$$ показательная функция убывает, то

$$\left(\frac12\right)^{-1} \ge \left(\frac12\right)^{\sin x} \ge \left(\frac12\right)^1.$$

Следовательно,

$$\frac12 \le y \le 2.$$

Наименьшее значение равно $$\frac12,$$ наибольшее — $$2.$$

б) Поскольку $$0 \le |\cos x| \le 1,$$ а основание $$3>1,$$ то функция возрастает, значит

$$3^0 \le 3^{|\cos x|} \le 3^1,$$

то есть

$$1 \le 3^{|\cos x|} \le 3.$$

Прибавим 5:

$$6 \le y \le 8.$$

Наименьшее значение равно $$6,$$ наибольшее — $$8.$$

в) Так как $$-1 \le \cos x \le 1,$$ а $$4>1,$$ то

$$4^{-1} \le 4^{\cos x} \le 4^1,$$

откуда

$$\frac14 \le y \le 4.$$

Наименьшее значение равно $$\frac14,$$ наибольшее — $$4.$$

г) Имеем $$0 \le |\sin x| \le 1.$$ При основании $$\frac13<1$$ функция убывает, поэтому

$$\left(\frac13\right)^0 \ge \left(\frac13\right)^{|\sin x|} \ge \left(\frac13\right)^1,$$

то есть

$$1 \ge \left(\frac13\right)^{|\sin x|} \ge \frac13.$$

Вычтем 2:

$$-1 \ge \left(\frac13\right)^{|\sin x|}-2 \ge -\frac53,$$

или

$$-\frac53 \le y \le -1.$$

Наименьшее значение равно $$-\frac53,$$ наибольшее — $$-1.$$

Ответ

а) $$\min y=\frac12,\ \max y=2$$; б) $$\min y=6,\ \max y=8$$; в) $$\min y=\frac14,\ \max y=4$$; г) $$\min y=-\frac53,\ \max y=-1$$.