Упр.45 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 45. При каком значении а найдутся такие х, что числа 5^(1+x)+5^(1-x), a/2, 25^x+25^(-x) (в указанном порядке) составляют арифметическую прогрессию? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolmogor10-11 zadachi/45 1023

Пусть

$$a_1=5^{1+x}+5^{1-x}, \quad a_2=\frac a2, \quad a_3=25^x+25^{-x}.$$

Так как эти числа образуют арифметическую прогрессию, то

$$2a_2=a_1+a_3.$$

Тогда

$$a=5^{1+x}+5^{1-x}+25^x+25^{-x}.$$

Преобразуем:

$$a=5\cdot 5^x+5\cdot 5^{-x}+5^{2x}+5^{-2x}.$$

Обозначим $$t=5^x$$, тогда $$t>0$$ и

$$a=5t+\frac{5}{t}+t^2+\frac{1}{t^2}.$$

По неравенству AM-GM:

$$5t+\frac{5}{t}\ge 2\sqrt{5t\cdot \frac{5}{t}}=10,$$

$$t^2+\frac{1}{t^2}\ge 2\sqrt{t^2\cdot \frac{1}{t^2}}=2.$$

Следовательно,

$$a\ge 10+2=12.$$

Равенство достигается при $$t=1$$, то есть при $$x=0$$. Значит, такие $$x$$ существуют при всех $$a\ge 12$$.

Ответ

$$a\in[12;+\infty).$$