Упр.45 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$y=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$

Функция косинус определена при всех значениях $$x$$, значит

$$D(y)=\mathbb{R}.$$

Так как $$-1\le \cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\le 1,$$ то

$$-2\le 2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\le 2.$$

Следовательно,

$$E(y)=[-2;2].$$

б) $$y=2+\frac{4}{x-3}$$

Знаменатель не должен обращаться в нуль:

$$x-3\ne 0,\quad x\ne 3.$$

Значит,

$$D(y)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty).$$

Так как $$\frac{4}{x-3}\ne 0,$$ то значение $$y=2$$ не достигается. Поэтому

$$E(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$

в) $$y=\frac{3}{x+1}-1$$

Знаменатель не должен быть равен нулю:

$$x+1\ne 0,\quad x\ne -1.$$

Следовательно,

$$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$

Так как $$\frac{3}{x+1}\ne 0,$$ то $$y\ne -1.$$ Значит,

$$E(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$

г) $$y=3+0{,}5\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$

Функция синус определена при всех $$x$$, значит

$$D(y)=\mathbb{R}.$$

Так как $$-1\le \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$ то

$$-0{,}5\le 0{,}5\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le 0{,}5.$$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$$2{,}5\le y\le 3{,}5.$$

Следовательно,

$$E(y)=[2{,}5;3{,}5].$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } D(y)=\mathbb{R},\quad E(y)=[-2;2];\\ &\text{б) } D(y)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty),\quad E(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty);\\ &\text{в) } D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty),\quad E(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty);\\ &\text{г) } D(y)=\mathbb{R},\quad E(y)=[2{,}5;3{,}5]. \end{aligned}$$