Упр.447 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$\left(\frac{4}{7}\right)^{-\frac{\sqrt5}{2}} \text{ и } 1$$
Представим $$1$$ в виде $$\left(\frac{4}{7}\right)^0$$. Так как $$\frac{4}{7}<1$$, функция $$\left(\frac{4}{7}\right)^x$$ убывает. Поскольку $$-\frac{\sqrt5}{2}<0$$, то
$$\left(\frac{4}{7}\right)^{-\frac{\sqrt5}{2}} > \left(\frac{4}{7}\right)^0 = 1.$$
Значит, $$\left(\frac{4}{7}\right)^{-\frac{\sqrt5}{2}} > 1$$.
б) $$3^{-\sqrt{12}} \text{ и } \left(\frac13\right)^{2,8}$$
Преобразуем первое число:
$$3^{-\sqrt{12}}=\left(\frac13\right)^{\sqrt{12}}.$$
Так как $$\frac13<1$$, функция $$\left(\frac13\right)^x$$ убывает. Поскольку $$\sqrt{12}>2,8$$, то
$$\left(\frac13\right)^{\sqrt{12}} < \left(\frac13\right)^{2,8}.$$
Следовательно, $$3^{-\sqrt{12}} < \left(\frac13\right)^{2,8}$$.
в) $$2,5^{-\sqrt2} \text{ и } 1$$
Представим $$1$$ в виде $$\left(0,4\right)^0$$, а число $$2,5^{-\sqrt2}$$ запишем так:
$$2,5^{-\sqrt2}=\left(0,4\right)^{\sqrt2}.$$
Так как $$0,4<1$$, функция $$\left(0,4\right)^x$$ убывает. Поскольку $$\sqrt2>0$$, то
$$\left(0,4\right)^{\sqrt2} < \left(0,4\right)^0 = 1.$$
Значит, $$2,5^{-\sqrt2} < 1$$.
г) $$0,3^{\frac{\sqrt5}{6}} \text{ и } 0,3^{\frac13}$$
Так как $$0,3<1$$, функция $$0,3^x$$ убывает. Сравним показатели:
$$\frac{\sqrt5}{6} > \frac13,$$
поскольку $$\sqrt5>2$$. Тогда при убывающей функции
$$0,3^{\frac{\sqrt5}{6}} < 0,3^{\frac13}.$$
Ответ: а) $$\left(\frac47\right)^{-\frac{\sqrt5}{2}} > 1$$; б) $$3^{-\sqrt{12}} < \left(\frac13\right)^{2,8}$$; в) $$2,5^{-\sqrt2} < 1$$; г) $$0,3^{\frac{\sqrt5}{6}} < 0,3^{\frac13}$$.
