Упр.438 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$\frac{a^{-1}}{a^{3/4}+a^{1/2}}\cdot \frac{\sqrt{a}+\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a}+1}\cdot a^{1/4}+1$$
Представим всё в виде степеней с рациональными показателями:
$$\frac{a^{-1}}{a^{3/4}+a^{1/2}}\cdot \frac{a^{1/2}+a^{1/4}}{a^{1/2}+1}\cdot a^{1/4}+1 = \frac{a^{-1}\,a^{1/4}(a^{1/2}+a^{1/4})}{(a^{3/4}+a^{1/2})(a^{1/2}+1)}+1$$
Вынесем общие множители:
$$a^{3/4}+a^{1/2}=a^{1/2}(a^{1/4}+1), \qquad a^{1/2}+a^{1/4}=a^{1/4}(a^{1/4}+1).$$
Тогда
$$\frac{a^{-1}\,a^{1/4}\cdot a^{1/4}(a^{1/4}+1)}{a^{1/2}(a^{1/4}+1)(a^{1/2}+1)}+1 = \frac{a^{-1/2}}{a^{1/2}+1}+1 = \frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)}+1.$$
После приведения к общему знаменателю получаем
$$\frac{1+\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)}=\sqrt{a}.$$
б) $$\left(\frac{\sqrt[4]{x^3}-\sqrt[4]{x}}{1-\sqrt{x}}+\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x}}\right)^2\cdot \left(1+\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x}\right)^{-1/2}$$
Пусть $$t=\sqrt[4]{x}$$, тогда $$\sqrt{x}=t^2,\; x=t^4.$$ Имеем:
$$\frac{t^3-t}{1-t^2}+\frac{1+t^2}{t} = \frac{t(t^2-1)}{(1-t)(1+t)}+\frac{1+t^2}{t} = \frac{t(t-1)(t+1)}{-(t-1)(t+1)}+\frac{1+t^2}{t} = -t+\frac{1+t^2}{t} = \frac{1}{t}.$$
Тогда
$$\left(\frac{1}{t}\right)^2\cdot \left(1+\frac{2}{t^2}+\frac{1}{t^4}\right)^{-1/2} = \frac{1}{t^2}\cdot \left(\left(1+\frac{1}{t^2}\right)^2\right)^{-1/2} = \frac{1}{t^2}\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{t^2}} = \frac{1}{t^2+1}.$$
Так как $$t^2=\sqrt{x},$$ получаем
$$\frac{1}{\sqrt{x}+1}.$$
в) $$\frac{a^{4/3}-27a^{1/3}b}{a^{2/3}+3a^{1/3}b^{1/3}+9b^{2/3}}:\left(1-3\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right)-\sqrt[3]{a^2}$$
Используем формулу $$u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)$$:
$$a^{4/3}-27a^{1/3}b=a^{1/3}\left(a-27b\right) = a^{1/3}\left(\sqrt[3]{a}-3\sqrt[3]{b}\right)\left(a^{2/3}+3a^{1/3}b^{1/3}+9b^{2/3}\right).$$
Тогда
$$\frac{a^{4/3}-27a^{1/3}b}{a^{2/3}+3a^{1/3}b^{1/3}+9b^{2/3}} = a^{1/3}\left(\sqrt[3]{a}-3\sqrt[3]{b}\right).$$
Далее
$$1-3\sqrt[3]{\frac{b}{a}}=1-\frac{3\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a}} =\frac{\sqrt[3]{a}-3\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a}}.$$
Следовательно,
$$a^{1/3}\left(\sqrt[3]{a}-3\sqrt[3]{b}\right):\frac{\sqrt[3]{a}-3\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a}} = a^{1/3}\cdot \sqrt[3]{a}=a^{2/3}.$$
Тогда всё выражение равно
$$a^{2/3}-\sqrt[3]{a^2}=0.$$
г) $$\left(\frac{1}{m+\sqrt{2}}-\frac{m^2+4}{m^3+2\sqrt{2}}\right)\cdot \left(\frac{m}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{m}\right)$$
Заметим, что
$$m^3+2\sqrt{2}=m^3+(\sqrt{2})^3=(m+\sqrt{2})(m^2-m\sqrt{2}+2).$$
Тогда
$$\frac{1}{m+\sqrt{2}}-\frac{m^2+4}{m^3+2\sqrt{2}} = \frac{m^2-m\sqrt{2}+2-(m^2+4)}{(m+\sqrt{2})(m^2-m\sqrt{2}+2)} = \frac{-m\sqrt{2}-2}{(m+\sqrt{2})(m^2-m\sqrt{2}+2)}.$$
Кроме того,
$$\frac{m}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{m} = \frac{m^2-\sqrt{2}m+2}{2m}.$$
Следовательно,
$$\left(\frac{-m\sqrt{2}-2}{(m+\sqrt{2})(m^2-m\sqrt{2}+2)}\right)\cdot \frac{m^2-\sqrt{2}m+2}{2m} = \frac{-(\sqrt{2}m+2)}{2m(m+\sqrt{2})}.$$
Так как $$\sqrt{2}m+2=\sqrt{2}(m+\sqrt{2}),$$ получаем
$$\frac{-\sqrt{2}(m+\sqrt{2})}{2m(m+\sqrt{2})}=-\frac{1}{\sqrt{2}m}.$$
Ответ
а) $$\sqrt{a}$$; б) $$\frac{1}{\sqrt{x}+1}$$; в) $$0$$; г) $$-\frac{1}{\sqrt{2}m}$$.
