Упр.427 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Подробный ответ

а)

$$\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=8,\\ x-y=16. \end{cases}$$

Из второго уравнения:
$$x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})=16.$$
Так как $$\sqrt{x}+\sqrt{y}=8,$$ то
$$(\sqrt{x}-\sqrt{y})\cdot 8=16,\qquad \sqrt{x}-\sqrt{y}=2.$$
Тогда
$$\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=8,\\ \sqrt{x}-\sqrt{y}=2. \end{cases}$$
Складываем уравнения:
$$2\sqrt{x}=10,\qquad \sqrt{x}=5,\qquad x=25.$$
Вычитаем:
$$2\sqrt{y}=6,\qquad \sqrt{y}=3,\qquad y=9.$$

б)

$$\begin{cases} \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=5,\\ xy=216. \end{cases}$$

Введём новые неизвестные:
$$z=\sqrt[3]{x},\qquad t=\sqrt[3]{y}.$$
Тогда
$$\begin{cases} z+t=5,\\ z^3t^3=216. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$(zt)^3=216,\qquad zt=6.$$
Получаем систему
$$\begin{cases} z+t=5,\\ zt=6. \end{cases}$$
Тогда числа $$z$$ и $$t$$ — корни уравнения
$$u^2-5u+6=0,$$
откуда
$$u=2 \text{ или } u=3.$$
Значит,
$$(z,t)=(2,3)\ \text{или}\ (3,2).$$
Возвращаемся к старым неизвестным:
$$(x,y)=(8,27)\ \text{или}\ (27,8).$$

в)

$$\begin{cases} \sqrt{x}-\sqrt{y}=4,\\ x-y=32. \end{cases}$$

Используем формулу разности квадратов:
$$x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})=32.$$
Так как $$\sqrt{x}-\sqrt{y}=4,$$ то
$$4(\sqrt{x}+\sqrt{y})=32,\qquad \sqrt{x}+\sqrt{y}=8.$$
Получаем систему
$$\begin{cases} \sqrt{x}-\sqrt{y}=4,\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=8. \end{cases}$$
Складываем:
$$2\sqrt{x}=12,\qquad \sqrt{x}=6,\qquad x=36.$$
Вычитаем:
$$2\sqrt{y}=4,\qquad \sqrt{y}=2,\qquad y=4.$$

г)

$$\begin{cases} \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}=2,\\ xy=27. \end{cases}$$

Обозначим
$$a=\sqrt[3]{x},\qquad b=\sqrt[3]{y}.$$
Тогда
$$\begin{cases} a-b=2,\\ a^3b^3=27. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$(ab)^3=27,\qquad ab=3.$$
Имеем систему
$$\begin{cases} a-b=2,\\ ab=3. \end{cases}$$
Пусть $$a=b+2$$. Тогда
$$(b+2)b=3,$$
$$b^2+2b-3=0,$$
$$(b-1)(b+3)=0.$$
Отсюда
$$b=1 \text{ или } b=-3.$$
Тогда
$$a=3 \text{ или } a=-1.$$
Следовательно,
$$(x,y)=(27,1)\ \text{или}\ (-1,-27).$$