Упр.427 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.
а)
Обозначим $$a=\sqrt{x}, \quad b=\sqrt{y}.$$ Тогда система примет вид
$$ \begin{cases} a+b=8,\\ a^2-b^2=16. \end{cases} $$
Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ то
$$ (a-b)\cdot 8=16 \Rightarrow a-b=2. $$
Решаем систему
$$ \begin{cases} a+b=8,\\ a-b=2. \end{cases} $$
Получаем $$a=5,\; b=3.$$ Тогда
$$x=a^2=25,\quad y=b^2=9.$$б)
Обозначим $$z=\sqrt[3]{x}, \quad t=\sqrt[3]{y}.$$ Тогда
$$ \begin{cases} z+t=5,\\ z^3t^3=216. \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$ (zt)^3=216 \Rightarrow zt=6. $$
Получаем систему
$$ \begin{cases} z+t=5,\\ zt=6. \end{cases} $$
Тогда числа $$z$$ и $$t$$ — корни уравнения
$$ u^2-5u+6=0, $$
откуда
$$ u=2 \text{ или } u=3. $$
Значит, $$\{z,t\}=\{2,3\}.$$ Следовательно,
$$x=z^3=8,\quad y=t^3=27$$
или
$$x=27,\quad y=8.$$в)
Обозначим $$a=\sqrt{x}, \quad b=\sqrt{y}.$$ Тогда
$$ \begin{cases} a-b=4,\\ a^2-b^2=32. \end{cases} $$
Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ то
$$ 4(a+b)=32 \Rightarrow a+b=8. $$
Решаем систему
$$ \begin{cases} a-b=4,\\ a+b=8. \end{cases} $$
Получаем $$a=6,\; b=2.$$ Тогда
$$x=a^2=36,\quad y=b^2=4.$$г)
Обозначим $$a=\sqrt[3]{x}, \quad b=\sqrt[3]{y}.$$ Тогда
$$ \begin{cases} a-b=2,\\ xy=27. \end{cases} $$
Но $$xy=a^3b^3=(ab)^3,$$ значит
$$ (ab)^3=27 \Rightarrow ab=3. $$
Имеем систему
$$ \begin{cases} a-b=2,\\ ab=3. \end{cases} $$
Подставим $$a=b+2$$:
$$ b(b+2)=3 \Rightarrow b^2+2b-3=0. $$
Тогда
$$ (b-1)(b+3)=0 \Rightarrow b=1 \text{ или } b=-3. $$
Если $$b=1,$$ то $$a=3,$$ и
$$x=27,\quad y=1.$$
Если $$b=-3,$$ то $$a=-1,$$ и
$$x=-1,\quad y=-27.$$
Ответ
а) $$x=25,\ y=9$$;
б) $$x=8,\ y=27$$ или $$x=27,\ y=8$$;
в) $$x=36,\ y=4$$;
г) $$x=27,\ y=1$$ или $$x=-1,\ y=-27$$.
