Упр.426 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Введём новые неизвестные $$z=\sqrt{x},\ t=\sqrt{y},\ z\ge 0,\ t\ge 0.$$ Тогда система примет вид

$$\begin{cases} 2z-t=5,\\ zt=3. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$t=2z-5$$. Подставим во второе:

$$z(2z-5)=3$$

$$2z^2-5z-3=0$$

$$(2z+1)(z-3)=0$$

Отсюда $$z=3$$ или $$z=-\frac12$$. Так как $$z\ge 0$$, то $$z=3$$. Тогда

$$t=2\cdot 3-5=1.$$

Возвращаемся к старым неизвестным:

$$\sqrt{x}=3,\qquad \sqrt{y}=1$$

$$x=9,\qquad y=1.$$

б) Введём новые неизвестные $$z=\sqrt{6+x},\ t=\sqrt{3y+4},\ z\ge 0,\ t\ge 0.$$ Тогда

$$\begin{cases} z-3t=-10,\\ 4t-5z=6. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$z=3t-10$$. Подставим во второе:

$$4t-5(3t-10)=6$$

$$4t-15t+50=6$$

$$-11t=-44,\qquad t=4.$$

Тогда

$$z=3\cdot 4-10=2.$$

Возвращаемся к старым неизвестным:

$$\sqrt{6+x}=2,\qquad \sqrt{3y+4}=4$$

$$6+x=4,\qquad 3y+4=16$$

$$x=-2,\qquad y=4.$$

в) Введём новые неизвестные $$z=\sqrt{x},\ t=\sqrt{y},\ z\ge 0,\ t\ge 0.$$ Тогда

$$\begin{cases} z+3t=10,\\ zt=8. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$z=10-3t$$. Подставим во второе:

$$(10-3t)t=8$$

$$10t-3t^2-8=0$$

$$3t^2-10t+8=0$$

$$(3t-4)(t-2)=0$$

Отсюда $$t=2$$ или $$t=\frac43$$.

1) Если $$t=2$$, то $$z=10-3\cdot 2=4$$, значит

$$x=16,\qquad y=4.$$

2) Если $$t=\frac43$$, то $$z=10-3\cdot \frac43=6$$, значит

$$x=36,\qquad y=\frac{16}{9}.$$

г) Обозначим

$$u=\sqrt{x-2},\qquad v=\sqrt{5y+1},\qquad u\ge 0,\ v\ge 0.$$

Тогда система имеет вид

$$\begin{cases} 2u+5v=8,\\ 3u-2v=-2. \end{cases}$$

Решим её. Умножим первое уравнение на $$2$$, а второе на $$5$$:

$$\begin{cases} 4u+10v=16,\\ 15u-10v=-10. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$19u=6,\qquad u=\frac{6}{19}.$$

Тогда

$$2\cdot \frac{6}{19}+5v=8$$

$$5v=8-\frac{12}{19}=\frac{140}{19}$$

$$v=\frac{28}{19}.$$

Возвращаемся к старым неизвестным:

$$x-2=\left(\frac{6}{19}\right)^2,\qquad 5y+1=\left(\frac{28}{19}\right)^2.$$

Следовательно,

$$x=2+\frac{36}{361}=\frac{758}{361},\qquad y=\frac{\frac{784}{361}-1}{5}=\frac{423}{1805}.$$

Ответ

а) $$x=9,\ y=1.$$

б) $$x=-2,\ y=4.$$

в) $$x=16,\ y=4$$ или $$x=36,\ y=\frac{16}{9}.$$

г) $$x=\frac{758}{361},\ y=\frac{423}{1805}.$$