Упр.421 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Введём новые неизвестные $$z=\sqrt[3]{x}$$ и $$t=\sqrt[3]{y}.$$ Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} z+2t=1,\\ 3z-t=10. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$z=1-2t.$$ Подставим во второе:

$$3(1-2t)-t=10 \\ 3-7t=10 \\ -7t=7 \\ t=-1.$$

Тогда

$$z=1-2(-1)=3.$$

Возвращаемся к старым неизвестным:

$$\sqrt[3]{x}=3 \Rightarrow x=27,\qquad \sqrt[3]{y}=-1 \Rightarrow y=-1.$$

Ответ: $$x=27,\ y=-1.$$

б) Введём новые неизвестные $$z=\sqrt[4]{x}$$ и $$t=\sqrt[4]{y}.$$ Тогда

$$\begin{cases} 4z-t=2\sqrt{2},\\ 2z+3t=8\sqrt{2}. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$t=4z-2\sqrt{2}.$$ Подставим во второе:

$$2z+3(4z-2\sqrt{2})=8\sqrt{2} \\ 2z+12z-6\sqrt{2}=8\sqrt{2} \\ 14z=14\sqrt{2} \\ z=\sqrt{2}.$$

Тогда

$$t=4\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}.$$

Возвращаемся к старым неизвестным:

$$\sqrt[4]{x}=\sqrt{2}\Rightarrow x=(\sqrt{2})^4=4,\qquad \sqrt[4]{y}=2\sqrt{2}\Rightarrow y=(2\sqrt{2})^4=64.$$

Ответ: $$x=4,\ y=64.$$

в) Введём новые неизвестные $$z=\sqrt[4]{x}$$ и $$t=\sqrt[4]{y}.$$ Тогда

$$\begin{cases} 2z+t=7,\\ 4t-3z=6. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$t=7-2z.$$ Подставим во второе:

$$4(7-2z)-3z=6 \\ 28-8z-3z=6 \\ 11z=22 \\ z=2.$$

Тогда

$$t=7-2\cdot 2=3.$$

Возвращаемся к старым неизвестным:

$$\sqrt[4]{x}=2\Rightarrow x=2^4=16,\qquad \sqrt[4]{y}=3\Rightarrow y=3^4=81.$$

Ответ: $$x=16,\ y=81.$$

г) Введём новые неизвестные $$z=\sqrt{x},\ t=\sqrt{y},\ a=\sqrt{5}.$$ Тогда

$$\begin{cases} z+3t=5a,\\ 5t-2z=a. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$z=5a-3t.$$ Подставим во второе:

$$5t-2(5a-3t)=a \\ 5t-10a+6t=a \\ 11t=11a \\ t=a=\sqrt{5}.$$

Тогда

$$z=5a-3a=2a=2\sqrt{5}.$$

Возвращаемся к старым неизвестным:

$$\sqrt{x}=2\sqrt{5}\Rightarrow x=(2\sqrt{5})^2=20,\qquad \sqrt{y}=\sqrt{5}\Rightarrow y=(\sqrt{5})^2=5.$$

Ответ: $$x=20,\ y=5.$$