Упр.42 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 42. Докажите справедливость равенства 1-tg(?)+tg^2(?)-tg^3(?)+…=v2cos(?)/(2sin(?/4+?)) для любого ??(0; ?/4).

Подробный ответ

Обозначим сумму ряда через $$S$$:

$$S=1-\tg\varphi+\tg^2\varphi-\tg^3\varphi+\cdots$$

Это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $$a_1=1$$ и знаменателем $$q=-\tg\varphi$$. Так как $$\varphi\in\left(0;\frac{\pi}{4}\right),$$ то $$|\tg\varphi|<1,$$ значит, сумма ряда существует.

Тогда

$$S=\frac{1}{1-(-\tg\varphi)}=\frac{1}{1+\tg\varphi}.$$

Преобразуем:

$$S=\frac{1}{1+\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}}=\frac{\cos\varphi}{\cos\varphi+\sin\varphi}.$$

Теперь используем формулу

$$\cos\varphi+\sin\varphi=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\varphi+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\varphi\right)=\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right).$$

Тогда

$$S=\frac{\cos\varphi}{\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)}.$$

Так как

$$\cos\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right),$$

получаем

$$S=\frac{\sqrt{2}\cos\varphi}{2\sin\left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)}.$$

Что и требовалось доказать.