Упр.416 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рационализируем знаменатель, умножая числитель и знаменатель на сопряжённое выражение.

1. $$\frac{1}{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}}=\frac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}{(\sqrt[3]{2})^3-(\sqrt[3]{3})^3}=\frac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}{2-3}=-\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{9}.$$

2. $$\frac{2}{a-\sqrt[3]{b}}=\frac{2\left(a^2+a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}\right)}{(a-\sqrt[3]{b})\left(a^2+a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}\right)}=\frac{2\left(a^2+a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}\right)}{a^3-b}.$$

3. $$\frac{2}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{7}}=\frac{2\left(\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{35}+\sqrt[3]{49}\right)}{(\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{7})\left(\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{35}+\sqrt[3]{49}\right)}=\frac{2\left(\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{35}+\sqrt[3]{49}\right)}{5+7}$$

   $$=\frac{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{35}+\sqrt[3]{49}}{6}.$$

4. $$\frac{3a}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}=\frac{3a\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)}{\left(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right)\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)}=\frac{3a\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)}{(\sqrt[3]{a})^3+(\sqrt[3]{b})^3}$$

   $$=\frac{3a\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)}{a+b}.$$

Ответ:

$$\begin{aligned} &\text{а) }-\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{9};\\ &\text{б) }\frac{2\left(a^2+a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}\right)}{a^3-b};\\ &\text{в) }\frac{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{35}+\sqrt[3]{49}}{6};\\ &\text{г) }\frac{3a\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)}{a+b}. \end{aligned}$$