Упр.410 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Введём новую неизвестную $$t=\sqrt[6]{x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$t^2=\sqrt[3]{x}.$$

Получаем уравнение:

$$t^2-5t+6=0$$

$$\left(t-2\right)\left(t-3\right)=0$$

$$t_1=2,\quad t_2=3.$$

Возвращаемся к старой неизвестной:

$$\sqrt[6]{x}=2 \Rightarrow x=2^6=64$$

$$\sqrt[6]{x}=3 \Rightarrow x=3^6=729$$

б) Введём новую неизвестную $$t=\sqrt[4]{x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$t^2=\sqrt{x}.$$

Получаем уравнение:

$$t^2+t=2$$

$$t^2+t-2=0$$

$$\left(t-1\right)\left(t+2\right)=0$$

Так как $$t\ge 0,$$ подходит только $$t=1.$$

Тогда

$$\sqrt[4]{x}=1 \Rightarrow x=1.$$

в) Введём новую неизвестную $$t=\sqrt[4]{x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$t^2=\sqrt{x}.$$

Получаем уравнение:

$$t^2-3t+2=0$$

$$\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0$$

$$t_1=1,\quad t_2=2.$$

Возвращаемся к старой неизвестной:

$$\sqrt[4]{x}=1 \Rightarrow x=1$$

$$\sqrt[4]{x}=2 \Rightarrow x=2^4=16.$$

г) Введём новую неизвестную $$t=\sqrt[6]{x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$t^2=\sqrt[3]{x}.$$

Получаем уравнение:

$$t^2-5t=6$$

$$t^2-5t-6=0$$

$$\left(t-6\right)\left(t+1\right)=0$$

Так как $$t\ge 0,$$ подходит только $$t=6.$$

Тогда

$$\sqrt[6]{x}=6 \Rightarrow x=6^6=46656.$$

Ответ

а) $$x=64,\ 729$$; б) $$x=1$$; в) $$x=1,\ 16$$; г) $$x=46656$$.