Упр.41 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 41. Решите в целых числах уравнение (x-1)/x+(x-2)/x+(x-3)/x+…+1/x=3.

Преобразуем левую часть:

$$ \frac{x-1}{x}+\frac{x-2}{x}+\frac{x-3}{x}+\cdots+\frac{1}{x}=3 $$

$$ \left(1-\frac{1}{x}\right)+\left(1-\frac{2}{x}\right)+\left(1-\frac{3}{x}\right)+\cdots+\frac{1}{x}=3 $$

Слагаемых здесь всего $$x-1$$, поэтому

$$ (x-1)-\frac{1+2+3+\cdots+(x-1)}{x}=3 $$

Используем формулу суммы первых $$x-1$$ натуральных чисел:

$$ 1+2+3+\cdots+(x-1)=\frac{(x-1)x}{2} $$

Тогда

$$ (x-1)-\frac{(x-1)x}{2x}=3 $$

$$ (x-1)-\frac{x-1}{2}=3 $$

$$ \frac{x-1}{2}=3 $$

$$ x-1=6 $$

$$ x=7 $$

Проверка: при $$x=7$$ все дроби определены, и уравнение выполняется.

Ответ

$$7$$