Упр.406 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $$\sqrt7+\sqrt5$$:

$$\frac{3}{\sqrt7-\sqrt5} = \frac{3(\sqrt7+\sqrt5)}{(\sqrt7-\sqrt5)(\sqrt7+\sqrt5)} = \frac{3(\sqrt7+\sqrt5)}{7-5} = \frac{3}{2}(\sqrt7+\sqrt5).$$

б) Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $$a-\sqrt2$$:

$$\frac{a-\sqrt2}{a+\sqrt2} = \frac{(a-\sqrt2)(a-\sqrt2)}{(a+\sqrt2)(a-\sqrt2)} = \frac{(a-\sqrt2)^2}{a^2-2}.$$

в) Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $$\sqrt5-\sqrt2$$:

$$\frac{1}{\sqrt5+\sqrt2} = \frac{\sqrt5-\sqrt2}{(\sqrt5+\sqrt2)(\sqrt5-\sqrt2)} = \frac{\sqrt5-\sqrt2}{5-2} = \frac{\sqrt5-\sqrt2}{3}.$$

г) Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $$\sqrt6+1$$:

$$\frac{\sqrt6+1}{\sqrt6-1} = \frac{(\sqrt6+1)(\sqrt6+1)}{(\sqrt6-1)(\sqrt6+1)} = \frac{(\sqrt6+1)^2}{6-1} = \frac{6+2\sqrt6+1}{5} = \frac{7+2\sqrt6}{5}.$$

Ответ: а) $$\frac{3}{2}(\sqrt7+\sqrt5)$$; б) $$\frac{(a-\sqrt2)^2}{a^2-2}$$; в) $$\frac{\sqrt5-\sqrt2}{3}$$; г) $$\frac{7+2\sqrt6}{5}$$.