Упр.40 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

б) Вычислите без таблиц: 2^vlog(2; 3)-3^vlog(3; 2).

а) Пусть $$a=2^{\log_2 x}.$$ Тогда $$\log_a 2=\frac{1}{\log_2 a}=\frac{1}{\log_2\left(2^{\log_2 x}\right)}=\frac{1}{\log_2 x}.$$

Следовательно,

$$x^{\log_x 2}=x^{\frac{1}{\log_2 x}}=\left(2^{\log_2 x}\right)^{\frac{1}{\log_2 x}}=2.$$

С другой стороны,

$$2^{\log_2 x}=x.$$

Значит,

$$2^{\log_2 x}=x^{\log_x 2}, \quad x>1.$$

б)

$$2^{\log_2 3}-3^{\log_3 2}=3-2=1.$$

Ответ

а) $$2^{\log_2 x}=x^{\log_x 2}, \quad x>1$$; б) $$1$$.