Упр.40 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 40. Три числа, каждое из которых является степенью с основанием a (a > 0, a?1), составляют геометрическую прогрессию. Докажите, что логарифмы этих чисел составляют арифметическую прогрессию.

Пусть три данных числа имеют вид

$$a^x,\; a^y,\; a^z,$$

где $$a>0,\; a\ne 1.$$

Так как эти числа составляют геометрическую прогрессию, то для их показателей выполняется соотношение

$$2y=x+z.$$

Рассмотрим логарифмы этих чисел по основанию $$m>0,\; m\ne 1$$:

$$\log_m a^x,\; \log_m a^y,\; \log_m a^z.$$

Проверим, образуют ли они арифметическую прогрессию. Для этого достаточно показать, что удвоенный средний член равен сумме крайних:

$$2\log_m a^y=\log_m a^x+\log_m a^z.$$

Используем свойство логарифма:

$$\log_m a^x+\log_m a^z=\log_m a^{x}a^{z}=\log_m a^{x+z}.$$

С другой стороны,

$$2\log_m a^y=\log_m \left(a^y\right)^2=\log_m a^{2y}.$$

Но так как $$2y=x+z,$$ то

$$\log_m a^{2y}=\log_m a^{x+z}.$$

Следовательно,

$$2\log_m a^y=\log_m a^x+\log_m a^z,$$

то есть логарифмы данных чисел составляют арифметическую прогрессию.

Ответ

Логарифмы этих чисел образуют арифметическую прогрессию.