Упр.4 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что число $$10^{56}-1$$ делится на 3 и 11.

Рассмотрим число $$a=10^{56}-1.$$

Так как $$10^{56}=1\underbrace{00\ldots 0}_{56\text{ нулей}},$$ то

$$a=\underbrace{99\ldots 9}_{56\text{ девяток}}.$$

Проверим делимость на $$3$$ и на $$11$$.

1. Сумма цифр числа $$a$$ равна $$56\cdot 9=504,$$ а число $$504$$ делится на $$3$$. Значит, $$a$$ делится на $$3$$.

2. Для делимости на $$11$$ найдём разность суммы цифр, стоящих на нечётных и чётных местах:

   $$9-9+9-9+\cdots+9-9=0.$$

   Полученная разность делится на $$11$$, значит, число $$a$$ делится на $$11$$.

Следовательно, число $$10^{56}-1$$ делится и на $$3$$, и на $$11$$.

Ответ

$$10^{56}-1$$ делится на $$3$$ и на $$11$$.