Упр.4 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Перечислите основные свойства показательной функции.
2. Постройте график функции: а) $$y=4^x$$; б) $$y=\left(\frac{1}{4}\right)^x$$; в) $$y=6^x$$; г) $$y=\left(\frac{1}{6}\right)^x$$.
3. Какое из чисел больше: а) $$2^{0,4}$$ или $$2^{\text{v}2/3}$$; б) $$1,2^{-\text{v}3}$$ или $$1,2^{\text{v}5}$$; в) $$\left(\frac{1}{2}\right)^{\text{v}5}$$ или $$\left(\frac{1}{2}\right)^{\text{v}3}$$; г) $$0,3^{(-?)}$$ или $$0,3^{-3}$$?

1) Для показательной функции $$y=a^x$$, где $$a>0$$ и $$a\ne 1$$, справедливо:

• $$D(y)=\mathbb{R}$$, $$E(y)=(0;+\infty)$$;
• при $$a>1$$ функция возрастает на $$\mathbb{R}$$;
• при $$0<a<1$$ функция убывает на $$\mathbb{R}$$;
• $$a^x\cdot a^y=a^{x+y}$$;
• $$\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$$;
• $$\left(ab\right)^x=a^x b^x$$;
• $$\left(\dfrac{a}{b}\right)^x=\dfrac{a^x}{b^x}$$;
• $$\left(a^x\right)^y=a^{xy}$$.

2) Графики функций $$y=4^x$$, $$y=\left(\dfrac14\right)^x$$, $$y=6^x$$, $$y=\left(\dfrac16\right)^x$$ имеют вид показательной функции: все проходят через точку $$\left(0;1\right)$$, при $$a>1$$ возрастают, при $$0<a<1$$ убывают.

• $$y=4^x$$ — возрастающий график;
• $$y=\left(\dfrac14\right)^x$$ — убывающий график;
• $$y=6^x$$ — возрастающий график, более крутой, чем $$y=4^x$$;
• $$y=\left(\dfrac16\right)^x$$ — убывающий график, более крутой, чем $$y=\left(\dfrac14\right)^x$$.

3) Сравним числа:

1. $$\dfrac23>0{,}16,\qquad \dfrac{\sqrt2}{3}>0{,}4,$$
   поэтому при основании $$2>1$$ большее число даёт больший показатель:
   $$2^{0{,}4}<2^{\frac{\sqrt2}{3}}.$$
   
   Ответ: $$2^{\frac{\sqrt2}{3}}$$.
2. $$-\sqrt3<\sqrt5,\qquad 1{,}2>1,$$
   значит
   $$1{,}2^{-\sqrt3}<1{,}2^{\sqrt5}.$$
   
   Ответ: $$1{,}2^{\sqrt5}$$.
3. $$\sqrt5>\sqrt3,\qquad \dfrac12<1,$$
   поэтому при основании меньше 1 большему показателю соответствует меньшее значение:
   $$\left(\dfrac12\right)^{\sqrt5}<\left(\dfrac12\right)^{\sqrt3}.$$
   
   Ответ: $$\left(\dfrac12\right)^{\sqrt3}$$.
4. $$-\pi>-3,\qquad 0{,}3<1,$$
   значит
   $$0{,}3^{-\pi}>0{,}3^{-3}.$$
   
   Ответ: $$0{,}3^{-\pi}$$.